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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 29

No P r o b .   4.28 , determine:

  1. O valor de h para o qual a tensão máxima σ m é a menor possível e.
  2. O valor correspondente de k.

Passo 1

O nosso objetivo é determinar o valor de k na nossa equação, para isso precisamos lembrar de duas coisas:

Uma é que a nossa fórmula de tensão é dada pela seguinte equação

σ x = - M y I

E a outra é que a fórmula que relaciona as duas situações é dada por:

σ m = k σ 0

Em que σ m é a tensão na situação final e σ 0 é a tensão inicial, considerando o mesmo momento agindo em ambas as situações. Para isso, o mais difícil no nosso problema é determinar o valor do momento de inércia na situação inicial e final, sendo assim teremos que:

Passo 2

Cálculo do momento de inércia na situação inicial:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2

    I = h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 2 9

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 4 18

    I = 4 h 0 4 36 + 2 h 0 4 36

    I = 4 3 h 0 4 36

    I = 12 h 0 4 36

    I = h 0 4 3  

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Determinando o valor de y, temos que:

  • y - positivo e negativo

    • Calculando a tensão teremos que:

    σ 0 = M y I = M h 0 h 0 4 3 = 3 M h 0 h 0 4 = 3 M h 0 3

    Passo 4

    Cálculo do momento de inércia na situação final:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

      As medidas temos que:

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

    I = h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 2 2 h 2 9 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 4 18 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + 2 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 3 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 12 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = h 4 3 +   2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = h 4 3 + h 0 - h 8 h 3 6

    I = h 4 3 + h 0 - h 4 h 3 3 = h 4 3 + h 0 4 h 3 3 - 4 h 4 3

    I = h 4 3 + h 0 4 h 3 3 - 4 h 4 3

    I = h 0 4 h 3 3 - 3 h 4 3

    I = 4 h 0 h 3 3 - h 4

    Sabemos que podemos usar um macete para facilitar as contas, dividindo as coisas pela seguinte igualdade c = h , assim temos que:

    I c = 4 h 0 h 2 3 - h 3

    Como queremos o maior valor da relação I / c , devemos derivar a equação e igualar ela a zero, assim teremos que:

    d d h I c = d d h ( 4 h 0 h 2 3 - h 3 )

    8 h 0 h 3 - 3 h 2 = 0

    h = 8 h 0 9

    ou seja, assim resolvemos o nosso item A) O valor de h para o qual a tensão máxima σ m é a menor possível, vamos para o item b)

    Passo 3

    Determinando o valor de y, temos que:

  • y - positivo e negativo

E podemos usar:

h = 8 h 0 9

I c = 4 h 0 h 2 3 - h 3

Substituindo, teremos que:

I c = 4 h 0 3 8 h 0 9 2 - 8 h 0 9 3

I c = 256 h 0 3 24 3 - 512 h 0 3 729 = 256 h 0 3 729

Calculando a tensão teremos que:

σ m = M y I = M h I = M c I = 729 M 256 h 0 3

Sabemos que no caso original tinha-se que:

σ 0 = 3 M h 0 3

Assim temos que:

k = σ m σ 0 = 729 M 256 h 0 3 3 M h 0 3

k = 729 256 × 1 3 = 0,949

Resposta

  1. h = 8 h 0 9
  2. k = 0,949
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