51. Se o coeficiente de amortecimento viscoso do amortecedor do Prob. 8 / 50 é c = 36 N ⋅ s / m , determine a faixa de frequência de excitação para a qual o módulo da resposta em regime permanente é inferior a 75   m m .

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai lembrar a fórmula da frequência natural do sistema, a qual é dada por:

ω n = k m

Onde k é a constante de mola e m a massa do carrinho. E então, substituindo os valores numéricos adequados, obtemos que:

ω n = 1080 N m 30   k g

ω n = 36

ω n = 6   r a d / s

Passo 2

Agora, vamos lembrar que a fórmula da amplitude X com amortecimento tem a seguinte cara:

X = F 0 / k 1 - ω / ω n 2 2 - 2 ζ ω / ω n 2

Onde F 0 é o valor da força de excitação inicial, ζ é o fator de amortecimento e ω a frequência que a gente quer.

Para ζ temos que usar:

ζ = c 2 m ω n

ζ = 36   N ⋅ s / m 2 ( 30   k g ) ( 6 r a d / s )

X = ( 25   N ) / ( 1080   N / m ) 1 - ω / 6 2 2 + 2 ( 0,1 ) ω / 6 2

X = 0,02315 1 - ω 2 36 2 + 0,0011 ⋅ ω 2

X = 0,02315 36 - ω 2 36 2 + 0,0011 ⋅ ω 2

X = 0,02315 1296 - 72 ω 2 + ω 4 + 1,4256 ω 2 1296

X = 0,02315 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296

O valor de - 0,011 ⋅ ω 2 será muito pequeno na hora de somar com a fração ao lado, então podemos ignorá-lo:

Passo 3

Como temos a fórmula da frequência angular em função da amplitude do regime, vamos aplicar a desigualdade em relação ao módulo do valor máximo que queremos de amplitude (módulo porque a amplitude pode variar de - 75   m m até 75   m m ) e encontrar o valor das frequências que queremos:

X < 0,075   m

- 0,075   m < X < 0,075   m

Para X < 0,075   m :

0,02315 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 < 0,075

1 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 < 0,075 0,02315

1 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 < 3,24

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 > 1 3,24

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 > 1 3,24 2

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 10,4976 > 1296

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 > 123,456

ω 4 - 70,5744 ω 2 + 1172,544 > 0

Substituindo ω 2 por y :

y 2 - 70,5744 y + 1172,544 > 0

Essa é uma inequação do segundo grau. Vamos resolver a equação de segundo grau que nada mais nada menos é do que os termos dela igualados a zero. Para isso, usemos a seguinte fórmula que já nos fornece as raízes:

y 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Obtemos que:

y 1 = ω 1 2 = 70,5744 + ( 70,5744 ) 2 - 4 ⋅ 1172,544 2

ω 1 = 43,81   r a d / s

ω 1 ≅ 6,62   r a d / s

y 2 = ω 2 2 = 70,5744 - ( 70,5744 ) 2 - 4 ⋅ 1172,544 2

ω 2 = 26,76   r a d / s

ω 2 ≅ 5,17   r a d / s

E agora vamos fazer o cálculo para X > - 0,075   m , repetindo o mesmo procedimento anterior

0,02315 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 > - 0,075

1 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 > - 0,075 0,02315

1 1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 > - 3,24

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 < - 1 3,24

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 1296 < - 1 3,24 2

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 10,4976 < 1296

1296 - 70,5744 ω 2 + ω 4 < 123,456

ω 4 - 70,5744 ω 2 + 1172,544 < 0

E calculando por fim, obtemos novamente que:

y 1 = ω 1 2 = 70,5744 + ( 70,5744 ) 2 - 4 ⋅ 1172,544 2

ω 1 = 43,81   r a d / s

ω 1 ≅ 6,62   r a d / s

y 2 = ω 2 2 = 70,5744 - ( 70,5744 ) 2 - 4 ⋅ 1172,544 2

ω 2 = 26,76   r a d / s

ω 2 ≅ 5,17   r a d / s

Para ver qual intervalo pegar, basta observar que ao calcularmos o valor da amplitude X para alguma frequência entre ω 1 e ω 2 , vamos ver que ela será superior a 75   m m . Logo, nosso intervalinho é dado por:

ω < 5,17 r a d / s   o u   ω > 6,62   r a d / s

Quer tirar a prova dos nove. Substituiremos, então ω = 5,5 r a d / s na fórmula da nossa formuleta da amplitude:

X = 0,02315 1296 - 70,5744 ( 5,5   r a d / s ) 2 + ( 5,5   r a d / s ) 4 1296

X = 95,48   m m

Viu só, curioso!

Resposta

Os valores que a frequência angular pode assumir para a amplitude X não ser superior a 75   m m são:

ω < 5,17 r a d / s   o u   ω > 6,62   r a d / s

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