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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 75

Um balde de massa igual a 2,00 kg, contendo 10,0 kg de água, está pendurado em uma mola vertical ideal de constante de força igual a 450 N/m e oscilando para cima e para baixo com uma amplitude igual a 3,00 cm. De repente, surge um vazamento no fundo do balde, de tal modo que a água escoa à taxa constante de 2,00 g/s. Quando o balde estiver cheio até a metade, ache (a) o período de oscilação e (b) a taxa em que o período está variando em relação ao tempo. O período está aumentando ou diminuindo? (c) Qual é o período mais curto que esse sistema pode ter?

Passo 1

Faaaaala galera, beleza? bora iniciar mais uma questão com a gente!

Para essa questão temos os seguintes dados:

- Massa do balde: m b 2   k g ;

- Massa da água: m a = 10   k g ;

- Constante de força da mola: K = 450   N / m ;

- Amplitude: A = 3   c m ;

- Taxa de vazamento da água: - 2,00 g s ou - 2 × 10 - 3 k g   s - 1

Bem galera, com isso temos que a massa inicial do sistema é dada por:

M = m b ​ + m a

Agora, quando o balde estiver meio cheio, a massa de água será metade e a massa do sistema será:

M ' = m b ​ + m a 2

= 2 + 10 2

= 7   k g

Letra a)

O período de oscilação será dado por:

T = 2 π M ' K  

Substituindo temos:

T = 2 π 7 450

T = 0,784   s

Tá aí nosso período, vamos seguir!

Passo 2

Letra b)

Agora a gente quer saber a taxa em que o período está variando em relação ao tempo. O período está aumentando ou diminuindo?

Como sabemos, o período é diretamente proporcional à raiz quadrada da massa do sistema. Como a massa do balde é constante. O período de oscilação é dado por:

T = 2 π m b + m a 2 K  

Nosso próximo passo será diferenciar a equação acima em relação a t , encontrando a taxa de variação do período em relação ao tempo.

d T d t = d d t 2 π m b + m a 2 K 1 2

= 2 π 1 K 1 2 d d t m b + m a 2 1 2

= 2 π 1 K 1 2 1 2 m b + m a 2 - 1 2   d m a d t  

= 2 π 1 450   N m - 1 1 2 7   k g - 1 2   × - 2 × 10 - 3   k g s - 1

= - 1,12 × 10 - 4

Uma vez que o período é diretamente proporcional à raiz quadrada da massa do sistema e a massa do sistema está diminuindo. Portanto, o período está ficando mais curto.

Passo 3

Nosso último passo será calcular qual é o período mais curto que esse sistema pode ter?

Letra c)

Como o período é diretamente proporcional à raiz quadrada da massa do sistema e há vazamento de água, a massa da água está diminuindo. Portanto, o período desse sistema será mais curto quando m a = 0 k g . Portanto, o período mais curto do sistema será:

T = 2 π m b + 0 K  

T = 2 π m b K

T = 2 π 2 450

= 0,42   s

E assim a gente finaliza mais uma questão, belezinha? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra a)

T = 0,784   s

Letra b)

T = - 1,12 × 10 - 4

Letra c)

T = 0,42   s

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