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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 20

13.20E Mostre por substituição direta, que se as Equações 13.75 forem satisfeitas, x = a x 1 + b x 2 satisfará a Equação 13.76.

Passo 1

Belezoca galerinha, as equações 13.75 são dadas pra gente como:

x 1 ' ' + γ x 1 ' + ω 0 2 x = f 1 t ,     x 2 ' ' + γ x 2 ' + ω 0 2 x = f 2 t

Enquanto a equação 13.76 é dada pra gente como:

x ' ' + γ x ' + ω 0 2 x = a f 1 t + b f 2 t

E queremos verificar isso para a solução:

x = a x 1 + b x 2

Então vamos encontrar cada derivada da função x e ver se a igualdade da Equação 13.61 é satisfeita.

Passo 2

Saca só, antes de tudo queremos encontrar as derivadas de x 1 e x 2 para encontrarmos f 1 e f 2 , pra isso devemos derivar toda a função x = a x 1 + b x 2 em relação a t , tal que:

x ' = a x 1 ' + b x 2 '

x ' ' = a x 1 ' ' + b x 2 ' '

Sendo assim, se a gente substituir isso na Equação 13.76, obtemos que:

x ' ' + γ x ' + ω 0 2 x = a f 1 t + b f 2 t

a x 1 ' ' + b x 2 ' ' + γ a x 1 ' + b x 2 ' + ω 0 2 x = a f 1 t + b f 2 t

E agora se a gente substituir os valores de f 1 t f 2 t fornecidas pelo enunciado, temos que:

a x 1 ' ' + b x 2 ' ' + γ a x 1 ' + b x 2 ' + ω 0 2 x = a x 1 ' ' + γ x 1 ' + ω 0 2 x + b x 2 ' ' + γ x 2 ' + ω 0 2 x

Logo, cortando os termos que se repetem, chegamos em:

ω 0 2 x = a ω 0 2 x + b ω 0 2 x

ω 0 2 x = ω 0 2 x a + b

a + b = 1

Ou seja, isso quer dizer que a equação x = a x 1 + b x 2 só será solução da nossa equação diferencial se, e somente se a + b = 1 . Portanto, se as Equações 13.75 forem satisfeitas, x = a x 1 + b x 2 só satisfará 13.76 se a + b = 1 .

Resposta

Demonstração.

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