5.32. Locate the centroid of the shaded area between the ellipse and the circle.
Passo 1
Vamos para mais um problema. Nesse aqui nós temos duas funções, um círculo e uma elipse.
A função do círculo é dada por
Então
E a função da elipse é
Vamos isolar
Então
Ficamos com
Isso quer dizer que
E os limites de são
Passo 2
Agora vamos calcular a área da parte pintada da figura. Bom, para fazer isso podemos calcular a área da elipse e subtrair desse valor a área do círculo, e como só a parte da direita está pintada, nós dividimos por dois. Vamos começar coma área da elipse:
E a área do círculo é
Então a área que procuramos é
Passo 3
Vamos finalmente montar nossa integral
Vamos começar a resolver nossa integral.
Então
Colocamos em evidência
Ou seja
Olha só que interessante, o termo é constante, então podemos tirar da integral.
Vamos continuar com a integral
Aplicando os limites
Então
Logo
Vamos simplificar
Passo 4
Substituindo o valor da área na equação ficamos com
Isso fica
Podemos cortar
Vamos usar a igualdade
Então
E finalmente chegamos em