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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 49

5.49. Determine a intensidade e direção θ da força P mínima necessária para puxar o cilindro de 50   k g pelo degrau liso.

Passo 1

Cara, ele pediu para a gente achar P mínimo e θ correspondente que faça mover esse cilindro pelo degrau liso. O melhor é sempre começar pelo DCL para entender o que está havendo:

Esse retângulo azul é o degrau, tá? Temos o peso do cilindro para baixo que vale

W c = 9,81 50

Temos as forças normais de contato em A e B . E temos a força P orientada de θ .

Só que repara uma coisa, na eminência do movimento, quando o cilindro está quase saindo do lugar, a normal em A zera, aí fica só N B como normal.

Percebe que a gente vai usar esse sistema de eixos inclinados, para facilitar as contas, ou seja x na direção do plano e y perpendicular ao plano.

Como está tudo em equilíbrio, podemos usar as equações de equilíbrio de forças e momentos.

Bora lá!

Passo 2

Agora podemos usar o fato que o momento total é 0 e fazer o somatório de momentos no ponto B . Aí a gente pode ignorar N B e achar P .

Vamos decompor nossas forças em relação a x e y para achar os braços de alavanca certinho.

Mas antes a gente precisa achar o braço de alavanca da componente de W c do eixo y em relação a B , porque isso não tá claro na figura. Vamos reunir as informações que temos

No nosso desenho C é o centro do cilindro. Percebe que ali a gente tem um triângulo retângulo. Aí podemos fazer:

0,6 2 = 0,5 2 + d 2

Isolando d :

d = 0,3317   m

Passo 3

Agora sim, a gente a parte para o somatório de momentos

∑ M A = 0

W c s i n 20 ° ⋅ 0,5 + W c   c o s 20 ° ⋅ 0,3317 - P ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 0,5 - P ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 0,3317 = 0

50 ⋅ 9,81 ⋅ s i n 20 ° ⋅ 0,5 + 50 ⋅ 9,81 ⋅ c o s 20 ° ⋅ 0,3317 - P ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 0,5 - P ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 0,3317 = 0

Daí a gente tira uma expressão para P :

P = 236,75 0,5 ⋅ cos ⁡ θ + 0,3317 ⋅ sin ⁡ θ

Passo 4

Agora a gente vai lembrar láaa de cálculo 1. Quando a gente queria achar onde uma função era mínima, nós derivávamos a função e igualávamos essa derivada a zero certo? Aí a gente isolava nossa variável e descobria onde a função era mínima.

Temos aqui uma função para P usando a variável θ . Cara, ele pede θ para P mínimo, lembra? Então o que vamos fazer para acharmos o ângulo em que P é mínimo vai ser derivar P em função de θ e igualar a 0.

d P d θ = 0

d P d θ = - 236,75 ⋅ ( - 0,5 ⋅ sin ⁡ θ + 0,3317 ⋅ cos ⁡ θ ) 0,5 ⋅ cos ⁡ θ + 0,3317 ⋅ sin ⁡ θ 2 = 0

Repare que para isso tudo ser 0 basta que

- 0,5 ⋅ sin ⁡ θ + 0,3317 ⋅ cos ⁡ θ = 0

Então vamos isolar θ

tan ⁡ θ = 0,3317 0,5

θ = t a n - 1 0,3317 0,5 = 33,6 °

Uhul! Achamos θ !

Passo 5

Agora basta encontrar P mínimo substituindo θ lá na função que achamos de P

P = 236,75 0,5 ⋅ cos ⁡ θ + 0,3317 ⋅ sin ⁡ θ

P = 236,75 0,5 ⋅ cos ⁡ 33,6 + 0,3317 ⋅ sin ⁡ 33,6

P = 395   N

Resposta

P = 395   N

θ = 33,6 °

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