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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 49

5.49. Determine the coordinates of the centroid of the trapezoidal area shown.

Passo 1

Para encontrar as coordenadas do centroide podemos usar as equações

X - = ∑ m x - ∑ m

Y - = ∑ m y - ∑ m

Mas esse problema aqui vai simplificar as coisas para a gente, porque a densidade é homogênea. Então ficamos com

X - = ∑ A x - ∑ A

Y - = ∑ A y - ∑ A

Passo 2

Beleza, vamos fragmentar o problema em duas figuras mais fáceis de resolver

Vamos começar com o retângulo Q .

x - Q = 300 2 = 150   m m

E

y - Q = 600 2 = 300   m m

Agora temos as coordenadas do centroide do retângulo.

E a área fica o seguinte

A Q = 600 ⋅ 300 = 180000   m m 2

Passo 3

Agora vamos para o triângulo. Para ficar mais fácil resolver vamos mudar o centro de coordenadas.

A equação para as novas coordenadas fica

x = x ' + O '

y = y ' + O '

E a coordenada da nova origem é

O ' = 100 ; 600   m m

Agora vamos determinar o centroide do triângulo nessas coordenadas

x - T ' = 300 3 = 100   m m

y - T ' = - 600 3 = - 200   m m

Vamos passar isso para o sistema de coordenadas originais

x - T = 100 + 300 = 400   m m

y - T = 600 - 200 = 400   m m

E a área do triângulo é:

A T = 600 ⋅ 300 2 = 90000   m m 2

Passo 4

Agora vamos calcular o centroide da figura toda.

x - = ∑ A x - ∑ A

Isso fica

x - = A Q x - Q + A T x - T A Q + A T

Substituindo os valores

x - = 180000 ⋅ 150 + 90000 ⋅ 400 180000 + 90000 = 233,3333   m m

E para y -

y - = ∑ A y - ∑ A

Isso fica

y - = A Q y - Q + A T y - T A Q + A T

Então

y - = 180000 ⋅ 300 + 90000 ⋅ 400 180000 + 90000 = 3 33,3333   m m

Resposta

x - = 233,3333   m m y - = 333,3333   m m

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Determine o centroide das áreas planas a seguir.
Determine o centroide das áreas planas a seguir.
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