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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 67

5/67) A roda de raio r rola sem deslizar e possui uma velocidade angular ω . Escreva uma expressão para a velocidade do ponto A em termos de θ e mostre que as velocidades de A e B são perpendiculares uma a outra.

Passo 1

Então galera, como aprendido neste capítulo, sabemos que nos foi dado alguns dados

Raio da roda r

Velocidade angular da roda ω

Ângulo θ

Pra facilitar a compreenção do exercicio e sempre bom que iniciemos ele com o D.C.L ok?

Então bora

Agora sim, podemos dar sequência na resolução...

Let´s boraaaaaa

Passo 2

Bom, sabemos que

v O = | v A / O | = ω r

Portanto sabemos então que v A é o resultado de v O &   v A / O

Seguindo nessa afirmação:

v A = v O 2 + v A / O 2 + 2 v O v A / O cos ⁡ ( 180 - 0 )  

v A = ω r 2 + ω r 2 + 2 ω r ω r cos ⁡ ( 180 - 0 )

v A = 2 ω r 2 - 2 ω r 2 cos ⁡ θ

v A = ω r 2 - 2 cos ⁡ θ

v A = 2 ω r 1 - cos ⁡ θ

v A = 2 ω r 2 sin 2 ⁡ θ 2

d e s d e   q u e   1 - cos ⁡ θ = 2 sin 2 ⁡ θ 2

v A = 2 ω r × 2 sin ⁡ θ 2

v A = 2 ω r sin ⁡ θ 2

Portanto, a velocidade no ponto A, é de

v A = 2 ω r sin ⁡ θ 2

Como o ângulo seria de π e a fórmula nos dá uma defasagem de θ 2 , o ângulo entre v A e v B é 90 ° .

Passo 3

v A faz um ângulo ( 90 - θ / 2 ) com v O

Portanto, o ângulo entre v A &   v B   é   90 °

Portantom, são perpendiculares.

Resposta

v A = 2 r ω sen ⁡ θ 2

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