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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 122

6.122. A escultura cinética exige que cada uma das barras com pinos esteja em perfeito equilíbrio em todo o tempo durante o seu lento movimento. Se cada membro tem um peso uniforme de 50 N m e um comprimento de 0,9   m , determine os contrapesos W 1 ,   W 2   e   W 3 que precisam ser colocados nas extremidades de cada membro para manter o sistema em equilíbrio para qualquer posição. Despreze a dimensão dos contrapesos.

Passo 1

Vamos começar por cima, fazendo o contra peso para o pino A.

Se a estrutura não gira sabemos que o momento angular total de A é igual a 0.

M A = 0

M A = W 1 ⋅ 0,3 ⋅ cos ⁡ θ - ( 50 ⋅ 0,9 ) ⋅ ( 0,45 - 0,3 ) ⋅ cos ⁡ θ = 0

Esse segundo termo surge por que o peso da barra é 50 N m ⋅ 0,9   m e é aplicado sobre o centro de massa da barra, como ela tem um peso uniforme, o centro de massa é no meio, em 0,45   m

Agora vamos isolar W 1 , repare que cos ⁡ θ     não importa, pois se dividirmos dos dois lados da equação, ele some

W 1 = 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,15 0,3 = 22,5   N

Ainda no ponto A, vamos usar a equação de equilíbrio para determinar a força no pino A exercida pela barra de baixo para manter o equilíbrio

F R y = 0

F R y = R A - W 1 - P b a r r a = R A - 22,5 - 50 ⋅ 0,9 = 0

Então

R A = 22,5 + 50 ⋅ 0,9 = 67,5   N

Passo 2

Agora vamos fazer a analise para o ponto B.

Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos para o passo anterior, temos

M B = 0

M B = W 2 ⋅ 0,3 ⋅ cos ⁡ ϕ - 50 ⋅ 0,9 ⋅ ( 0,45 - 0,3 ) ⋅ cos ⁡ ϕ - R A ⋅ 0,6 ⋅ cos ⁡ ϕ = 0

Da mesma forma que no ponto A cos ⁡ ϕ   pode ser cortado, então

W 2 ⋅ 0,3 - 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,15 - 67,5 ⋅ 0,6 = 0

Logo

W 2 = 67,5 ⋅ 0,6 + 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,15 0,3 = 157,5   N

E vamos determinar a força R B tal como no ponto A.

F R y = 0

F R y = R B - W 2 - 50 ⋅ 0,9 - R A = 0

* R A é negativo no ponto B e positivo no ponto A por conta da terceira lei de Newton

Logo

R B = 157,5 + 50 ⋅ 0,9 + 67,5 = 270   N

Passo 3

Agora faremos o mesmo para o ponto C

M C = 0

M C = R B ⋅ 0,6 ⋅ cos ⁡ α + 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,45 - 0,3 ⋅ cos ⁡ α - W 3 ⋅ 0,3 ⋅ cos ⁡ α = 0

De novo, podemos cortar cos ⁡ α

R B ⋅ 0,6 + 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,45 - 0,3 - W 3 ⋅ 0,3 = 0

Logo

W 3 = 270 ⋅ 0,6 + 50 ⋅ 0,9 ⋅ 0,45 - 0,3 0,3 = 562,5   N

Resposta

Os contra pesos são

W 1 = 22,5   N

W 2 = 157,5   N

W 3 = 562,5   N

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