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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 128

6.128 e 6.129 Em um ponto da superfície de uma placa fina foi determinado o estado de deformações. Sabendose que a superfície da placa está isenta de tensões e o coeficiente de Poisson é 0,30, determinar:(a) a orientação e a intensidade das deformações principais;(b) a máxima deformação específica de cisalhamento, no plano;(c) a máxima deformação específica de cisalhamento.

Passo 1

Oi, bora dar uma animada no nosso dia com uma questãozinha como essa?

Nosso objetivo aqui é encontrar a orientação das deformações normais principais em primeiro lugar.

Bom, traduzindo isso pra nossa língua, isso quer dizer que devemos usar o círculo de Mohr e encontrar ε 1   e   ε 1 , e pra isso a gente precisa dos parâmetros do círculo, ATENÇÃO AOS SINAIS DAS DEFORMAÇÕES!

Começamos calculando o centro do círculo que nos será bem útil nos próximos cálculos:

c = ε x + ε y 2 = + 48 + 92 2 =   70 μ

E então o raio, que também é a deformação de cisalhamento máxima γ m á x .

r = ε x - c 2 + γ x y 2 2

r = 48 - 70 2 + ( 240 2 ) 2

r = 122 μ

Passo 2

Aqui vamos encontrar o ângulo do estado de deformações, a gente pode fazer isso retirando do círculo de Mohr, um triângulo conhecido.

Sendo assim o ângulo inicial é:

α = a r c t g γ x y 2 ε x - c = a r c t g 120 48 - 70

α = 79,611 °

E o ângulo desse plano é em relação ao primeiro quadrante:

θ = 180 - α 2 = 50,2 °

Lembrando que dividimos θ por 2, pois se gira no círculo 2 θ , giramos o elemento de θ pro sentido oposto.

Enfim podemos calcular as deformações principais e resolver nosso item a.

ε 1 = c + r = 70 + 122 = 192 μ

Orientação:

θ = 50,2   ° ( a n t i - h o r á r i o )

E a segunda deformação:

ε 2 = c - r = 70 - 122 = - 52 μ

Que possui orientação:

θ 2 = 90 - θ = 39,2   ° ( h o r á r i o )

Passo 3

Maneiro, resolvemos o primeiro item agora vamos calcular a deformação de cisalhamento máxima no plano que pode ser dada por:

γ m á x N o   p l a n o = 2 r = 244 μ

Passo 4

Para o item c é pedido a máxima deformação específica de cisalhamento. E aqui que entra o coeficiente de Poisson, precisamos calcular a deformação específica para avaliar se é menor que a mínima ou maior que a máxima.

ε c = - v 1 - v ( ε 1 + ε 2 )

ε c = - 0,3 0,7 ( 192 - 52 )

ε c = - 60 μ

Nesse caso a máxima deformação específica é dada por:

γ m á x = ε m á x - ε m í n

γ m á x = 192 + 60

γ m á x = 252 μ

Isso acontece quando as deformações ε 1 e ε 2 tem sinais opostos.

Resposta

ε 1 = 192 μ

θ = 50,2   ° ( a n t i - h o r á r i o )

ε 2 =   - 52 μ

θ 2 = 90 - θ = 39,2   ° ( h o r á r i o )

ε c = - 60 μ

b)

γ m á x N o   p l a n o = 244 μ

c)

γ m á x = 252 μ

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