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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 53

6.53. Uma treliça de telhado Pratt é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos CE, DE e DF.

Passo 1

Vamos fazer o desenho disso

O que a gente consegue tirar só da imagem são as forças de reação nas pontas

A x = L x = 1 2 ∑ F x = 0

E

A y = L y = 1 2 ∑ F y = 9   k N

Passo 2

O melhor que a gente pode fazer aqui é usar o método das seções, vamos seccionar desse jeito

E aí a gente tem

Passo 3

Beleza, agora a gente pode calcular os momentos, vamos usar o momento no ponto D. Repare que as forças F D E , F D F são forças que agem no ponto D, então elas não são consideradas no momento.

∑ M D = 0

F C E ⋅ y - 9 ⋅ 6 + 1,5 ⋅ 6 + 3 ⋅ 3 = 0

Parece que a gente precisa calcular esse y, e para fazer isso vamos usar triângulos semelhantes

O triângulo em vermelho é semelhante ao triângulo em roxo, então a gente pode fazer o seguinte

E D - A E - = G F - A G -

E nosso y na equação é a distância E D -

y = E D - = G F - A G - ⋅ A E - = 6,75 9 ⋅ 6 = 4,5

Vamos por y na equação

F C E ⋅ 4,5 - 9 ⋅ 6 + 1,5 ⋅ 6 + 3 ⋅ 3 = 0

Logo

F C E = 9 ⋅ 6 - 1,5 ⋅ 6 - 3 ⋅ 3 4,5 = 8   k N

Passo 4

Agora para determinar a força F D E vamos usar o momento em A, repare que F D F   e F C E não produzem nenhum efeito de rotação se estivermos analisando o momento em A, por tanto não vamos considerar essas forças no cálculo do momento.

∑ M A = 0

F D E ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 + 3 ⋅ 3 = 0

Por tanto

F D E = - 3 ⋅ 6 - 3 ⋅ 3 6 = - 4,5   k N

Passo 5

Agora só falta a força F D F , vamos usar o momento em E para calcula-la. Repare que as forças F C E e F D E estão agindo em E, então elas não entram no calculo do momento

∑ M E = 0

1,5 ⋅ 6 - 9 ⋅ 6 + 3 ⋅ 3 + F D F x ⋅ y = 0

Vamos achar a componente em x da força F D F

A gente precisa da distância em y de D F - , a gente pode calcular desse jeito

D F - y = G F - - E D - = 6,75 - 4,5 = 2,25   m

E esse é nosso ângulo oposto.

Agora a gente pode calcular a hipotenusa do triângulo

h = 3 2 + 2,25 2 = 3,75

Então

F D F x = F D F ⋅ cos ⁡ θ = F D F 3 3,75

1,5 ⋅ 6 - 9 ⋅ 6 + 3 ⋅ 3 + F D F 3 3,75 ⋅ 4,5 = 0

F D F = - 1,5 ⋅ 6 + 9 ⋅ 6 - 3 ⋅ 3 3 3,75 ⋅ 4,5 = - 10   k N

Resposta

F C E = 8   k N

F D E = - 4,5   k N

F D F = - 10   k N

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