Responde Aí
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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas fundamentais - Ex. 13

Determine a área de superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

O problema pede que encontremos a área de superfície e o volume do sólido de revolução. Lembre-se do Teorema de Pappus e Guldinus, se precisar de ajuda sobre esse teorema tem ótimas vídeo aulas aqui mesmo no Responde Aí, mas basicamente o teorema diz que:

A área de superfície é dada pela multiplicação do perimetro com o comprimento formado pela rotação do centro de massa.

O volume do solido é dado pela multiplicação da aréa com o comprimento formado pela rotação do centro de massa.

Passo 2

Então, primeiro nós vamos calcular o perímetro e a área da figura que será rotacionada:

p = 1,5 + 2 + 2 2 + 1,5 2 = 6   m

A r e t a g . = 1,5 ⋅ 2 = 3   m 2

A t r i a n g . = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 1,5 = 1,5   m 2

A t o t a l = 4,5   m 2

Agora, vamos calcular o centro de massa da figura, e descobri o comprimento formado pela sua rotação.

Você pode encontrar o centro de massa dessas figuras no final do livro.

x - = 1,5 2 ⋅ A r e t a g . + 1,5 3 ⋅ A t r i a n g . A r e t a g . + A t r i a n g .

x - = 0,75 ⋅ 3 + 0,5 ⋅ 1,5 4,5 = 0,6667   m

Sendo sua rotação:

L = x - ⋅ 2 π = 0,6667 ⋅ 2 π = 4,189   m

Passo 3

Então agora usamos de fato o Teorema de Pappus e Guldinus:

A = L ⋅ p = 4,189 ⋅ 6 = 25,13   m 2

V = L ⋅ A t o t a l = 4,189 ⋅ 4,5 = 18,85   m 3

Resposta

A = 2 5 , 13   m 2

V = 18,85   m 3

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