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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 82

A caixa d’água elevada tem um topo cônico e fundo hemisférico e é fabricada usando placa de aço fina. Determine o volume dentro da caixa d’água.

Passo 1

O problema pede que encontremos o volume do sólido de revolução. Lembre-se do Teorema de Pappus e Guldinus, se precisar de ajuda sobre esse teorema tem ótimas vídeo aulas aqui mesmo no Responde Aí, mas basicamente o teorema diz que:

O volume do solido é dado pela multiplicação da aréa com o comprimento formado pela rotação do centro de massa.

Passo 2

Então, primeiro nós vamos calcular a área da figura que será rotacionada:

A r e t a g . = 3 ⋅ 2,4 = 7,2   m 2

A c o n i c . = 1 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 = 2,16   m 2

A h e m i s . = π 4 ⋅ 2,4 2 = 4,524   m 2

A t o t a l = 13,884   m 2

Agora, vamos calcular o centro de massa da figura, e descobri o comprimento formado pela sua rotação.

Você pode encontrar o centro de massa dessas figuras no final do livro.

x - = 2,4 2 ⋅ A r e t a g . + 2,4 3 ⋅ A c o n i c . + 4 ⋅ 2,4 3 π ⋅ A h e m i s . A r e t a g . + A c o n i c . + A h e m i s .

x - = 1,2 ⋅ 7,2 + 0,8 ⋅ 2,16 + 1,0186 ⋅ 4,524 13,13 = 1,1406   m

Sendo sua rotação:

L = x - ⋅ 2 π = 1,1406 ⋅ 2 π = 7,1667   m

Passo 3

Então agora usamos de fato o Teorema de Pappus e Guldinus:

V = L ⋅ A t o t a l = 7,1667 ⋅ 13,884 = 99,5   m 3

Resposta

V = 99,5   m 3

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