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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 55

Uma abóbora de massa 5 kg, lançada de um "canhão" feito por um aluno sob pressão atmosférica, em um ângulo de elevação de 45⁰, caiu a uma distância de 142 m do canhão. Os alunos utilizaram feixes de luz e fotocélulas para medir a velocidade inicial de F = -kmv. Qual era o valor de k?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Vamos denotar e vx0 vy0 as velocidades iniciais horizontal e vertical da abóbora. Evidentemente, vx0 = vy0 neste problema.

m d v x d t = F x = - m k v x = > - d x v x = - d t = d v x k v x = > x f = v x 0 - v x f k

Onde o índice f sempre denota o valor final. Da segunda igualdade acima, temos:

- d t = d v x k v x = > v x f = v x 0 e - k t f

Combinando as equações, teremos:

x f = v x 0 k 1 - e - k t f

Fazendo a mesma coisa com a componente y, temos que:

m d v y d t = F y = - m g - m k v y = > - d y v y = - d t = d v y g + k v y = > 0 = y f = g k 2 ln ⁡ g + k v y f g + k v y 0 + v y 0 - v y f k

= > - d t = d v y g + k v y = > g + k v y f = g + k v y 0 e - k t f

Combinando as equações e com uma pequena manipulação matemática, encontramos:

1 - e - k t f = g k t f g + k v y 0

A partir da segunda lei de Newton temos:

m d v d t = F = > m d v d t = - k m v = > d v v = - k d t

Integrando:

ln ⁡ v = - k t = > v = e - k t

Ou ainda:

d x d t = e - k t = > d x = e - k t d t

Integrando:

x f = - 1 k e - k t f = > - k x f = e - k t f = > ln ⁡ - k x f = - k t f = > t f = ln ⁡ - k x f k

Usando a equação de xf, eliminamos a variável tf para termos uma única equação com a variável k:

x f = v x 0 k 1 - e - k t f = v x 0 k 1 - e - k - ln ⁡ - k x f k = v x 0 k 1 - e ln ⁡ - k x f = v x 0 k 1 + k x f

= > k x f = v x 0 + k x f v x 0 = > k x f 1 - v x 0 = v x 0 = > k = v x 0 x f 1 - v x 0

Usando a equação do alcance, com o valor máximo, devido o ângulo de 45⁰ fornecido no enunciado, temos que:

142 = v 0 2 9,81 = > v 0 ≅ 37,32   m / s

Daí, temos que:

v x 0 = v 0 2 ≅ 26,39   m / s

Substituindo esse resultado e o valor de x fornecido no enunciado, temos que k é:

k = 26,39 142 1 - 26,39 = 0,0073196   o u   ≅ 0,00732   s - 1

Resposta

Ver passo a passo.

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