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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 40

Uma partícula se move em órbita bidimensional definida por:

x t = A 2 α t - s e n   α t

y t = A ( 1 - cos ⁡ α t )

  1. Determine a aceleração tangencial at, e a aceleração normal an, como uma função do tempo, onde as componentes tangencial e normal são consideradas em relação à velocidade.
  2. Determine em quais tempos a órbita atingirá seu ponto máximo.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Para responder ao questionamento do enunciado temos o seguinte diagrama esquemático da problemática apresentada:

Escrevendo a velocidade como:

v t = v t T t

Teremos que:

a t = d v d t = d v d t T + v d T d t = a t T + a n N

Onde N é o vetor unitário na direção de dT/dt.

Passo 2

Item a

Temos que:

v = x ˙ 2 + y ˙ 2

Resolvendo, teremos:

x ˙ = 2 α A - α A c o s   α t ; e   x ˙ 2 = 4 α 2 A 2 - 4 α 2 A 2 cos ⁡ α t + α 2 A 2 cos 2 ⁡ α t

y ˙ = α A s e n   α t ; e   y ˙ 2 = α 2 A 2 s e n 2   α t

E:

x ˙ 2 + y ˙ 2 = 4 α 2 A 2 - 4 α 2 A 2 cos ⁡ α t + α 2 A 2 cos 2 ⁡ α t + s e n 2   α t = α 2 A 2 4 - 4 cos ⁡ α t + 1 = α 2 A 2 5 - 4 cos ⁡ α t

= > v = α 2 A 2 5 - 4 cos ⁡ α t = α A 5 - 4 cos ⁡ α t

Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos:

a t = d v d t = d d t α A 5 - 4 cos ⁡ α t = 2 α 2 A s e n   α t 5 - 4 cos ⁡ α t

Para determinarmos a aceleração normal usamos:

a 2 = a t 2 + a n 2 = > a n = a 2 - a t 2

Onde a é dado por:

a = x ¨ 2 + y ¨ 2

Resolvendo temos:

x ¨ = α 2 A s e n   α t = > x ¨ 2 = α 4 A 2 s e n 2   α t

y ¨ = α 2 A cos ⁡ α t   = > y ¨ 2 = α 4 A 2 cos 2 ⁡ α t

x ¨ 2 + y ¨ 2 = α 4 A 2 s e n 2   α t + cos 2 ⁡ α t = α 4 A 2 = > a = α 2 A

Daí:

a n = a 2 - a t 2 = α 4 A 2 - 2 α 2 A s e n   α t 5 - 4 cos ⁡ α t 2 = A α 2 2 cos ⁡ α t - 1 5 - 4 cos ⁡ α t

Passo 3

Item b

Representando graficamente a aceleração normal, pode-se observar que o ponto de máximo é obtido ao termos:

α t = n π

Sendo:

a n = α 2 A

Resposta

Ver passo a passo.

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