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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 25

A aceleração de uma partícula é definida pela relação a = 0,4   x   ( 1 - k v ) , onde k é uma constante. Sabendo que em t = 0 a partícula parte o repouso em x = 4   m e que, quando t = 15   s ,   v = 4   m / s , determine (a) a constante k , (b) a posição da partícula quando v = 6   m / s , (c) a velocidade máxima da partícula.

Passo 1

Fala ai pessoal tudo belezinha? O enunciado pede que a gente determine a constante k , e a posição da partícula quando v = 6   m / s , (c) a velocidade máxima da partícula.

  1. Temos: d v d t = a = 0,4   x   ( 1 - k v )

    2. Em t = 0 ,   v = 0 : ∫ 0 v d v 1 - k v = ∫ 0 t 0,4 d t

    Ou – 1 k   x   [ I n   x   1 - k v ] 0 v = 0,4 t

    Ou I n   x   1 - k v = - 0,4 k t

    Em t = 15 s ,   v = 4 m s : I n   x   1 - 4 k = - 0,4 k   x   15 = - 6 k

    Resolvendo rendimentos k = 0,145703   s / m

    Passo 2

  2. Temos: v d v d x = a = 0,41   x   1 - k v

Quando x = 4 m ,   v = 0 :   ∫ 0 v v d v 1 - k v = ∫ 4 x 0,4 d x

Agora v 1 - k v = - 1 k + 1 / k 1 - k v

Então: ∫ 0 v - 1 k + 1 k   x   ( 1 - k v ) d v = ∫ 4 x 0,4 d x

Ou – v k - 1 k 2 I n   x   ( 1 - k v ) 0 v = 0,4   x   [ x ] 4 x

Ou – v k - 1 k 2 I n   x   ( 1 - k v ) 0 v = 0,4   x   ( x - 4 )

Quando v = 6 m / s - 6 0,145703 - 1 ( 0,145703 ) ² I n   x   ( 1 - 0,145703 x 6 ) = 0,4   x   ( x - 4 )

Ou 0,4   x   x - 4 = 56,4778

Passo 2

A velocidade máxima ocorre quando a = 0 .

a = 0 : 0,4   x   1 - k v m a x = 0 v m a x = 1 0,145703

Uma solução alternativa e começar com Eq. (1).

I n   x   1 - k v = 0,4 k t

Então v = 1 k   x   ( 1 - k - 0,4 k t )

Portanto, v m a x e alcançado como t → ∞ v m a x = 1 k

Como acima.

Resposta

  1. k = 0,1457 s / m
  2. x = 145,2 m
  3. v m a x = 6,86 m / s
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