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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 162

O movimento bidimensional de uma partícula e definido pelas relações r = 2b cos ω t e θ = ω t, onde b e ω são constantes. Determine (a) a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante, (b) o raio de curvatura da trajetória. O que se pode concluir em relação a trajetória da partícula?

Passo 1

E ai gurizada tudo bem? O exercício pede que a gente determine (a) a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante, (b) o raio de curvatura da trajetória. O que se pode concluir em relação a trajetória da partícula, então vamos trazer os dados do enunciado :D

r = 2 b cos ⁡ ω t         θ = ω t

r ˙ = - 2 b ω sin ⁡ ω t         θ ˙ = ω

r ¨ = - 2 b ω 2 cos ⁡ ω t         θ ¨ = 0

Passo 2

  1. Velocidade.

v r = r ¨ = - 2 b ω sin ⁡ ω t             v θ = r θ ˙ = 2 b ω cos ⁡ ω t

v 2 = v r 2 + v θ 2 = ( 2 b ω ) 2 ( - sin ⁡ ω t ) 2 + ( cos ⁡ ω t ) 2 = ( 2 b ω ) 2

Aceleração.

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2 b ω 2 cos ⁡ ω t - cos ⁡ ω t ( ω ) 2 = - 4 b ω 2 cos ⁡ ω t

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 2 b cos ⁡ ω t 0 + 2 - 2 b ω sin ⁡ ω t ω = - 4 b ω 2 sin ⁡ ω t

a 2 = a r 2 + a θ 2 = ( - 4 b ω 2 ) 2 cos 2   ω t + sin 2   ω t = ( 4 b ω 2 ) 2

Passo 3

Sendo a velocidade constante e aceleração zero

v = 2 b ω = contante,         a t = 0

Portanto:

a n = a 4 b ω 2

a n = v 2 ρ ;         ρ = v 2 a n = ( 2 b ω ) 2 4 b ω 2 = b         ρ = b

Para o caminho, ρ = contante.

Resposta

a)   v = 2 b ω

a = 4 b ω 2

b)   Portanto, o caminho é um círculo .

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