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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 152

Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela partícula do Problema 11.96 quando t = 0, A = 3 e B = 1.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha? O enunciado pede que a gente determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela partícula do Problema 11.96 quando t = 0, A = 3 e B = 1.

Com

A = 3 ,       B = 1

Nós temos

r = 3 t cos ⁡ t i + 3 t 2 + 1 j + t sin ⁡ t k

Agora

v = d r d t = 3 cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + 3 t t 2 + 1 j + sin ⁡ t + t cos ⁡ t k

e

a = d v d t = 3 - sin ⁡ t - sin ⁡ t - t cos ⁡ t i + 3 t 2 + 1 - t t t 2 + 1 t 2 + 1 j

+ cos ⁡ t + cos ⁡ t - t sin ⁡ t k = - 3 2 sin ⁡ t + t cos ⁡ t k

Passo 2

Assim consideramos a velocidade dada em função do tempo

v 2 = 9 ( cos ⁡ t - t sin ⁡ t ) 2 + 9 t 2 t 2 + 1 + ( sin ⁡ t + t cos ⁡ t ) 2

Expandindo e simplificando temos:

v 2 = t 2 + 19 t 2 + 1 + 8 cos 2   t + t 4   sin 2   t - t 3 + t sin ⁡ 2 t

Então

v = t 4 + 19 t 2 + 1 + 8 cos 2   t + t 4   sin 2   t - 8 t 3 + t sin ⁡ 2 t 1 / 2

e

d v d t = 4 t 3 + 38 t + 8 - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + 4 t 3   sin 2   t + 2 t 4 sin ⁡ t cos ⁡ t - 8 3 t 2 + 1 sin ⁡ 2 t + 2 t 3 + t cos ⁡ 2 t

Agora

a 2 = a t 2 + a n 2 = d v d t 2 + v 2 ρ 2

Passo 3

Em t = 0

a = 3 j + 2 k

Então a aceleração é :

a = 13   / s 2

d v d t = 0

v 2 = 9   ( m /s ) 2

Então, com

d v d t = 0

nós temos

a = v 2 ρ

Isolando temos:

ρ = 9   m 2 / s 2 13   m / s 2

Resposta

ρ = 2.50   m

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