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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 53

A aceleração do piloto de drag race é modelada como a = c 1 - c 2 v 2 , onde o termo v 2 leva em consideração o arrasto aerodinâmico e onde c 1 e c 2 são constantes positivas. Se c 2 é conhecido (a partir de testes no túnel de vento) como 1,64 10 - 4   m - 1 , determine c 1 se a velocidade final é 305   k m / h . Uma drag race é uma corrida em pista reta de 400   m que inicia do repouso.

Passo 1

Pessoal, pra calcular c 1 , temos que usar uma equação diferencial que contenha a aceleração a . Como a aceleração a = c 1 - c 2 v 2 está em termos da velocidade, e sabemos a distância da pista, a melhor equação diferencial pra se usar é:

v   d v = a   d s

Substituindo o valor de a :

v   d v = c 1 - c 2 v 2   d s

v c 1 - c 2 v 2   d v = d s

Passo 2

Show! Agora é só integrar a equação, lembrando que 305   k m / h = 84,7   m / s :

∫ 0 84,7 v c 1 - c 2 v 2   d v = ∫ 0 400 d s

- 1 2 c 2 ln ⁡ c 1 - c 2 v 2 0 84,7 = s 0 400

- 1 2 c 2 ln ⁡ c 1 - c 2 84,7 2 - ln ⁡ c 1 = 400 - 0

ln ⁡ c 1 - 7174 c 2 c 1 = - 800 c 2

ln ⁡ c 1 - 7174 c 2 c 1 = - 800 c 2

pois estamos assumindo aceleração sempre positiva.

Passo 3

Beleza! Vamos tentar isolar c 1 a partir da equação obtida no passo anterior:

ln ⁡ 1 - 7174 c 2 c 1 = - 800 c 2

1 - 7174 c 2 c 1 = e - 800 c 2

c 1 = 7174 c 2 1 - e - 800 c 2

Se substituirmos o valor da constante c 2 = 1,64 10 - 4   m - 1 , teremos:

c 1 = 9,57   m / s 2

Resposta

c 1 = 9,57   m / s 2

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