Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 43
Calcule a velocidade de impacto de um corpo que é liberado a partir do repouso a uma altitude acima da superfície da lua. (a) suponha inicialmente uma aceleração gravitacional constante e (b) então considere a variação com a altitude (veja seção 1/5).
Passo 1
(a) Bom, se a gente supôr que a aceleração é constante a situação fica bastante simples. Vamos ter os seguintes valores:
Perceba que aqui o sentido positivo é vertical para baixo. Como não estamos interessados no tempo, vamos usar a equação de Torricelli:
Passo 2
Agora vamos levar em conta a variação na aceleração da gravidade. A fórmula para a aceleração da gravidade é:
E nesse caso , já que o corpo cai em linha reta. Além disso, como estamos considerando apenas o efeito da gravidade, temos .
Dessa vez colocamos um sinal negativo porque agora é mais fácil tomar o sentido vertical para cima como positivo.
Vamos usar a definição da aceleração:
Substituindo a expressão de cima:
Resolvendo essa EDO podemos encontrar uma relação entre velocidade e posição.
Passo 3
Agora vamos integrar dos dois lados. Lembrando que vai de até (onde é o raio da Lua), enquanto vai de até o valor final que queremos descobrir:
E resolvendo as integrais ficamos com o seguinte:
Substituindo os valores numéricos vamos ficar com o seguinte resultado:
Pronto!
Resposta
(a)
(b)