Enunciado

Uma aeronave decola em A e se eleva em um ângulo constante com inclinação de 1 para 2 no plano vertical y - z com uma velocidade constante v = 400   k m / h . A aeronave é rastreada por radar em O . Para a posição B , determine os valores de R ˙ , θ ˙ e ϕ ˙ .

Passo 1

O ângulo β que a trajetória do avião faz com a horizontal satisfaz:

t g   β = 1 2

β = t g - 1 0,5 = 26,6 °

Então, a velocidade v = 400   k m / h = 111,1   m / s pode ser decomposta assim:

v θ = v cos ⁡ β = 111,1 cos ⁡ 26,6 ° = 99,34   m / s

v R ϕ = v   s e n   β = 111,1   s e n   26,6 ° = 49,75   m / s

Passo 2

A velocidade v R ϕ pode ser decomposta novamente, assim:

Para calcular cada componente, achamos o ângulo ϕ :

t g   ϕ = 300 500

ϕ = t g - 1 0,6 = 31 °

Então:

v ϕ = v R ϕ cos ⁡ ϕ = 49,75 cos ⁡ 31 ° = 42,64   m / s

v R = v R ϕ   s e n   ϕ = 49,75   s e n   31 ° = 25,62   m / s

Mais tarde também precisaremos da distância R , então calculamos por Teorema de Pitágoras:

R = 300 2 + 500 2 = 583,1   m

Passo 3

Agora, vamos lembrar como se escreve a velocidade nessas coordenadas esféricas:

v = R ˙   e R + R θ ˙ cos ⁡ ϕ e θ + R ϕ ˙   e ϕ

Então, podemos igualar cada componente dessa expressão com sua respectiva componente já calculada, assim ó:

R ˙ = v R                     R θ ˙ cos ⁡ ϕ = v θ                     R ϕ ˙ = v ϕ

Com a primeira equação, obtemos:

R ˙ = 25,6   m / s

Com a segunda:

  583,1   θ ˙ cos ⁡ 31 ° = 99,34

θ ˙ = 0,199   r a d / s

Com a última:

583,1   ϕ ˙ = 42,64

ϕ ˙ = 0,0731   r a d / s

Resposta

R ˙ = 25,6   m / s

θ ˙ = 0,199   r a d / s

ϕ ˙ = 0,0731   r a d / s

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