Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 185
A alavanca de controle gira na faixa . Uma mola de torção interna exerce um momento de retorno na alavanca em torno do ponto dado por , em que está em radianos. Determine e mostre em um gráfico, em função de , a força trativa necessária para tornar nulo o momento resultante em torno de . Use dois valores para e comente sobre os méritos relativos do projeto. Os efeitos do raio da polia em são desprezíveis.
Passo 1
Queremos calcular o momento que a força causa no ponto para igualar a . Para isso, precisamos primeiro achar a expressão das coordenadas do ponto em função de e depois calcular
Passo 2
Seja o eixo orientado para direita e o eixo para cima, nós teremos que se move num círculo de raio em torno da origem, começando em para e terminando em para . Temos então a equação polar das coordenadas de :
Passo 3
Bom, agora que temos o vetor , podemos obter o vetor , e através dele achar o vetor unitário que define a direção de . Vamos chamar de para facilitar nossa manipulação. Assim, temos
O módulo de é então
Manipulando o que temos dentro da raíz vamos chegar em
Sendo assim, nosso vetor unitário será
Passo 4
Pronto, agora conseguimos escrever nosso vetor que será dado por
E calculamos o nosso momento causado pela força
Resolvendo o produto vetorial, achamos o momento causado pela tração
Passo 5
Já vimos que o que queremos é que o momento causado pela tração seja cancelado pelo momento de retorno da alavanca. Então
O valor está positivo pois agora comparamos só os módulos. Isso nos leva ao valor de
Retornando ao valor original de teremos
Graficamente nós temos para e em radianos:
Agora o gráfico para :
Pronto, tá resolvido nosso problema.