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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 180

Uma força  F  atua ao longo da linha  A B  dentro da casca cilíndrica circular, à direita, como mostrado. As grandezas  r ,   h ,   θ  e  F  são conhecidas. Usando as coordenadas  x ,   y   e   z  mostradas, expresse  F  como um vetor.

Passo 1

Note que as coordenadas do ponto A são:

x a , y a , z a = 0 , r , 0

E as coordenadas do ponto B são:

x b , y b , z b = h , r ⋅ cos ⁡ θ , r ⋅ s e n θ

Logo o vetor r a b que vai de A para B será

r A B = x b - x a i ^ + y b - y a j ^ + z b - z a k ^

r a b = h   i ^ + r ⋅ cos ⁡ θ - 1   j ^ + r ⋅ s e n θ   k ^

Passo 2

Agora, lembre-se de que podemos escrever F desse modo:

F = F ⋅ n a b

Onde n a b é o vetor unitário na direção e no sentido de F , que vai de A para B . Esse vetor pode ser obtido a partir do vetor posição r a b , olha só:

F = F ⋅ r a b r a b  

F = F ⋅ h   i ^ + r ⋅ cos ⁡ θ - 1   j ^ + r ⋅ s e n θ   k ^ h 2 + r 2 ⋅ cos ⁡ θ - 1 2 + r 2 ⋅ s e n 2 θ

Dando uma manipulada e usando o fato que s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ teremos

F = F ⋅ h   i ^ + r ⋅ cos ⁡ θ - 1   j ^ + r ⋅ s e n θ   k ^ h 2 + 2 r 2 ⋅ 1 - cos ⁡ θ 2

Pronto, tá resolvido nosso problema sem muita dificuldade.

Resposta

F = F ⋅ h   i ^ + r ⋅ cos ⁡ θ - 1   j ^ + r ⋅ s e n θ   k ^ h 2 + 2 r 2 ⋅ 1 - cos ⁡ θ 2

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