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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 20

Uma amostra cilíndrica de 25   m m de diâmetro está submetida a uma torque T . Determinar o valor do torque T , para que a amostra falhe e que tipo de falha (tração ou cisalhamento), se esta amostra for de: (a) latão-amarelo laminado a frio ( σ U = 510   M P a ; τ U = 300   M P a ); (b) ferro fundido cinzento ( σ U = 170   M P a ; τ U = 240   M P a ).

Passo 1

Para esse problema iremos calcular a tensão cisalhamento utilizando a equação do torque:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Além disso é necessário lembrar que a tensão normal máxima é igual à tensão de cisalhamento máxima. Isso será muito importante na hora de comparar o tipo de falha. Ou seja

σ m á x = T ⋅ c J

Passo 2

Antes de calcularmos a tensão cisalhante, vamos calcular o momento de inércia polar. Lembrando que o momento de inércia polar J é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

J = π ⋅ ( 12,5 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 24.414 × 10 - 12 2

J = 38.349,5 × 10 - 12   m 4

Passo 3

Agora vamos as tensões máximas:

τ m á x = σ m á x = T ⋅ c J

No caso do latão-amarela, letra A a menor resistência é com relação à tensão de cisalhamento, logo a falha será por cisalhamento.

Calculando o torque teremos:

τ m á x = T ⋅ c J

Isolando o torque:

T = τ m á x ⋅ J c

T = 300 × 10 6 ⋅ 38.349,5 × 10 - 12 12,5 × 10 - 3

T = 300 ⋅ 38.349,5 12,5 ⋅ 10 6 × 10 - 12 10 - 3

T = 920.388,0 ⋅ 10 - 3   N ⋅ m

T = 920,39   N ⋅ m

Passo 4

τ m á x = σ m á x = T ⋅ c J

No caso do ferro fundido cinzento, letra B, a menor resistência é com relação à tensão normal, logo a falha será por tração.

Calculando o torque teremos:

σ m á x = T ⋅ c J

Isolando o torque:

T = σ m á x ⋅ J c

T = 170 × 10 6 ⋅ 38.349,5 × 10 - 12 12,5 × 10 - 3

T = 170 ⋅ 38.349,5 12,5 ⋅ 10 6 × 10 - 12 10 - 3

T = 521.553,2 ⋅ 10 - 3   N ⋅ m

T = 521,55   N ⋅ m

Resposta

a)

T = 920,39   N ⋅ m

b)

T = 521,55   N ⋅ m

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