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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 11

O eixo maciço A B tem um diâmetro d s = 38   m m e é feito de aço, com uma tensão admissível ao cisalhamento de 80   M P a , enquanto que o tubo C D é feito de latão, com uma tensão admissível ao cisalhamento de 50   M P a . Determinar o maior torque T que pode ser aplicado em A .

Passo 1

Neste exercício temos dois tubos sujeitos à mesma torção, porém devido à geometria de cada um deles a tensão de cisalhamento será diferente. Por isso, vamos ter que calcular essa tensão para ambos. Utilizando a equação da torção:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Passo 2

Vamos analisar qual será o torque máximo admitido para a barra A B primeiro. Para calcular esse torque vamos substituir na equação, calculando primeiro o momento de inércia polar.

J = π ⋅ c 4 2

c = 38 2

J = π ⋅ ( 19 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 130321 × 10 - 12 2

J = 204707,75 × 10 - 12   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação, lembrando que o maior torque acontece no ponto mais externo c = r

τ = T ⋅ c J

80 × 10 6 = T ⋅ 19 × 10 - 3 204707,75 × 10 - 12  

80 × 10 6 ⋅ 204707,75 × 10 - 12 = T ⋅ 19 × 10 - 3

T ⋅ 15 × 10 - 3 = 80 × 10 6 ⋅ 204707,75 × 10 - 12

T = 80 × 10 6 ⋅ 204707,75 × 10 - 12 19 × 10 - 3

T = 80 ⋅ 204707,75 19 ⋅ 10 6 × 10 - 12 10 - 3

T = 861927,36 ⋅ 10 - 3   N . m

T = 861,93   N ⋅ m

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para a barra C D . Primeiro calculando o momento de inércia polar.

J = π ⋅ c 4 2

Como é uma barra vazada

J = π ⋅ c e x t 4 2 - π ⋅ c i n t 4 2

J = π ⋅ ( c e x t 4 - c i n t 4 ) 2

J = π ⋅ [ 75 × 10 - 3 4 - ( 75 - 6,4 ) × 10 - 3 4 ] 2

J = π ⋅ [ 75 × 10 - 3 4 - 68,6 × 10 - 3 4 ] 2

J = π ⋅ [ 31640625 × 10 - 12 - 22146059 × 10 - 12 ] 2

J = π ⋅ ( 31640625 - 22146059 ) × 10 - 12 2

J = π ⋅ 9494565,5 × 10 - 12 2

J = 14914028 × 10 - 12 m 4

Passo 5

Aplicando na equação do torque:

τ = T ⋅ c J

Como c é a maior distância do centro à superfície:

c = 75 - 6,4   m m

c = 68,6 × 10 - 3   m

50 × 10 6 = T ⋅ 68,6 × 10 - 3 14914028 × 10 - 12

50 × 10 6 ⋅ ( 14914028 × 10 - 12 ) = T ⋅ 68,6 × 10 - 3

T ⋅ 68,6 × 10 - 3 = 50 × 10 6 ⋅ ( 14914028 × 10 - 12 )

T = 50 × 10 6 ⋅ 14914028 × 10 - 12 68,6 × 10 - 3

T = 50 ⋅ 14914028 68,6 ⋅ 10 6 ⋅ 10 - 12 10 - 3

T = 10870282,8 ⋅ 10 - 3   N . m

T = 10870,3   N ⋅ m

Como queremos o torque que pode ser aplicado no conjunto sem ultrapassar o limite então devemos escolher o menor dos dois, no caso:

T = 861,93   N ⋅ m

Resposta

T = 861,93   N ⋅ m

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