Enquanto a distribuição exata de tensões de cisalhamento em um eixo cilíndrico vazado é como mostrado na figura (a), um valor aproximado pode ser obtido para τ m á x á , considerando-se uma distribuição uniforme de tensões ao longo da espessura, como mostrado em (b), e assumindo ainda que todas as forças elementares de cisalhamento atuam a uma distância O , igual ao raio médio r m = 1 2 c 1 + c 2 da seção transversal. O valor aproximado será então igual a τ 0 = T / ( A ⋅ r m ) , onde T é o torque aplicado. Pede-se (a) Expressar a relação τ m á x τ 0 á , tomando-se o valor exato da tensão máxima de cisalhamento e o valor aproximado para τ 0 , em termos da relação c 1 / c 2 ; (b) Determinar o maior e menor valor de τ m á x / τ 0 á e os correspondentes valores de c 1 / c 2 .

a) τ m á x τ 0 = c 2 ⋅ c 1 + c 2 ( c 2 2 + c 1 2 ) á b)O menor valor da relação ocorre quando c 1 c 2 = 1 , ou seja, c 1 = c 2 ou c 1 = 0 .Nesse caso τ m á x τ 0 = 1 +1 1 + 1 2 = 2 2 = 1 á O maior valor ocorre quando c 1 c 2 = 2 - 1 e tem valor de τ m á x τ 0 = 1 +2 - 11 + 2 - 12 á

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 21

Enquanto a distribuição exata de tensões de cisalhamento em um eixo cilíndrico vazado é como mostrado na figura (a), um valor aproximado pode ser obtido para , considerando-se uma distribuição uniforme de tensões ao longo da espessura, como mostrado em (b), e assumindo ainda que todas as forças elementares de cisalhamento atuam a uma distância , igual ao raio médio da seção transversal. O valor aproximado será então igual a , onde é o torque aplicado. Pede-se (a) Expressar a relação , tomando-se o valor exato da tensão máxima de cisalhamento e o valor aproximado para , em termos da relação ; (b) Determinar o maior e menor valor de e os correspondentes valores de .

Passo 1

Para esse problema iremos calcular a tensão cisalhamento máxima utilizando a equação do torque:

Onde:

Representa a tensão de cisalhamento.
A torção a qual a barra está submetida.
A distância do centro ao ponto de aplicação.
O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado, para tubos vazados como:

E utilizar também a definição dada para e, na letra A, vamos dividir uma pela outra. Enquanto na letra B vamos achar os valores de para os maiores e menore resultados.

Passo 2

Vamos então nós vamos ter que

Como

Temos que

E o nos foi dado

Passo 3

Vamos dividir

Lembrando que dividir é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso:

Como

Cortando os termos

E a área é dada por

Aqui vamos ter que lembrar da propriedade:

Substituindo na equação

Logo, podemos cortar os termos

Resultando em

Passo 4

Para responder a letra B “Determinar o maior e menor valor de e os correspondentes valores de .” Vamos ter que achar os valores máximo e mínimo da relação que são.