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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 21

Enquanto a distribuição exata de tensões de cisalhamento em um eixo cilíndrico vazado é como mostrado na figura (a), um valor aproximado pode ser obtido para τ m á x , considerando-se uma distribuição uniforme de tensões ao longo da espessura, como mostrado em (b), e assumindo ainda que todas as forças elementares de cisalhamento atuam a uma distância O , igual ao raio médio r m = 1 2 c 1 + c 2 da seção transversal. O valor aproximado será então igual a τ 0 = T / ( A ⋅ r m ) , onde T é o torque aplicado. Pede-se (a) Expressar a relação τ m á x τ 0 , tomando-se o valor exato da tensão máxima de cisalhamento e o valor aproximado para τ 0 , em termos da relação c 1 / c 2 ; (b) Determinar o maior e menor valor de τ m á x / τ 0 e os correspondentes valores de c 1 / c 2 .

Passo 1

Para esse problema iremos calcular a tensão cisalhamento máxima utilizando a equação do torque:

τ m á x = T ⋅ c 2 J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado, para tubos vazados como:

J = π ⋅ c e x t 4 2 - π ⋅ c i n t 4 2

E utilizar também a definição dada para τ 0 e, na letra A, vamos dividir uma pela outra. Enquanto na letra B vamos achar os valores de c 1 / c 2 para os maiores e menore resultados.

τ 0 = T A ⋅ r m

Passo 2

Vamos então nós vamos ter que

τ m á x = T ⋅ c 2 J

Como

J = π ⋅ c 2 4 2 - π ⋅ c 1 4 2

J = π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) 2

Temos que

τ m á x = 2 ⋅ T ⋅ c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 )

E o τ 0 nos foi dado

τ 0 = T A ⋅ r m

Passo 3

Vamos dividir

τ m á x τ 0

Lembrando que dividir é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso:

τ m á x τ 0 = 2 ⋅ T ⋅ c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) ⋅ A ⋅ r m T

Como

r m = c 1 + c 2 2

τ m á x τ 0 = 2 ⋅ T ⋅ c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) ⋅ A ⋅ c 1 + c 2 2 T

τ m á x τ 0 = 2 ⋅ T ⋅ c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) ⋅ A ⋅ c 1 + c 2 2   ⋅ T

Cortando os termos 2 ⋅ T

τ m á x τ 0 = c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) ⋅ A ⋅ c 1 + c 2 1

E a área é dada por

A = π ⋅ ( c 2 2 - c 1 2 )

τ m á x τ 0 = c 2 π ⋅ ( c 2 4 - c 1 4 ) ⋅ π ⋅ ( c 2 2 - c 1 2 ) ⋅ c 1 + c 2 1

Aqui vamos ter que lembrar da propriedade:

c 2 4 - c 1 4 = c 2 2 - c 1 2 ⋅ ( c 2 2 + c 1 2 )

Substituindo na equação

τ m á x τ 0 = c 2 π ⋅ c 2 2 - c 1 2 ⋅ ( c 2 2 + c 1 2 ) ⋅ π ⋅ ( c 2 2 - c 1 2 ) ⋅ c 1 + c 2 1

Logo, podemos cortar os termos π ⋅ c 2 2 - c 1 2

τ m á x τ 0 = c 2 ( c 2 2 + c 1 2 ) ⋅ c 1 + c 2 1

Resultando em

τ m á x τ 0 = c 2 ⋅ c 1 + c 2 ( c 2 2 + c 1 2 )

Passo 4

Para responder a letra B “Determinar o maior e menor valor de τ m á x / τ 0 e os correspondentes valores de c 1 / c 2 .” Vamos ter que achar os valores máximo e mínimo da relação τ m á x / τ 0 que são.

Para isso talvez fique mais fácil olhar a nossa relação da seguinte forma:

τ m á x τ 0 = c 2 ⋅ c 1 + c 2 ( c 2 2 + c 1 2 )

Dividindo por c 2 em cima e em baixo teremos:

τ m á x τ 0 = c 1 / c 2 + 1 1 + c 1 c 2 2

Reorganizando

τ m á x τ 0 = 1 +   c 1 c 2 1 + c 1 c 2 2

Passo 5

O menor valor da relação ocorre quando c 1 c 2 = 1 , ou seja, c 1 = c 2 ou c 1 = 0 .

Nesse caso

τ m á x τ 0 = 1 +   1 1 + 1 2 = 2 2 = 1

Já o maior valor nós temos que derivar a função e igualar a zero

τ m á x τ 0 = 1 +   c 1 c 2 1 + c 1 c 2 2

Aplicando uma função

f ( x ) = 1 +   x 1 + x 2

Sua derivada será igual a

f ' ( x ) = - x 2 - 2 x + 1 ( 1 + x 2 )

Para isso ser zero o numerador deve ser zero:

- x 2 - 2 x + 1 = 0

Aplicando bhaskara

x = 2 ± 4 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 ( - 1 )

x = 2 ± 8 - 2

x = 2 ± 2 2 - 2

x = - 1 ± 2 1

Como x não pode ser negativo

x = 2 - 1

Logo o maior valor ocorre quando c 1 c 2 = 2 - 1 e tem valor de

τ m á x τ 0 = 1 +   2 - 1   1 + 2 - 1   2

Resposta

a)

τ m á x τ 0 = c 2 ⋅ c 1 + c 2 ( c 2 2 + c 1 2 )

b)

O menor valor da relação ocorre quando c 1 c 2 = 1 , ou seja, c 1 = c 2 ou c 1 = 0 .

Nesse caso

τ m á x τ 0 = 1 +   1 1 + 1 2 = 2 2 = 1

O maior valor ocorre quando c 1 c 2 = 2 - 1 e tem valor de

τ m á x τ 0 = 1 +   2 - 1   1 + 2 - 1   2

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