A atração de parque de diversões consiste em um suporte fixo junto a O , do braço 6   m   O A , que gira em torno do eixo em O , e do compartimento, que permanece horizontal por meio de um mecanismo em A (não apresentado). Em um determinado instante, β = 45 ° , β ˙ = 0,8   r a d / s , e β ¨ = 0,4   r a d / s 2 , todos no sentido horário. Determine as forças horizontal e vertical ( F e N ) exercidas pelo banco sobre o passageiro de 80   k g em P . Compare seus resultados com os valores estáticos destas forças. Note que todo passageiro se desloca em um círculo com um raio de 6   m .

Passo 1

Vamos começar lembrando de duas fórmulas importantes para essa questão. A componente tangencial da aceleração (em coordenadas polares) é:

∑ F t = m ( r β ¨ + 2 r ˙ β ˙ )

Mas r ˙ = 0 , então:

∑ F t = m r β ¨

E a componente radial é:

∑ F r = m ( r ¨ - r   β ˙ 2 )

Mas r ¨ = 0 , então:

∑ F r = - m r β ˙ 2

Então só o que precisamos fazer é determinar essas grandezas e as forças em cada uma dessas direções.

Passo 2

Então vamos desenhar um diagrama de forças sobre o passageiro no ponto P . Esse passageiro não vai “orbitar” o mesmo centro que os outros, mas o raio da sua trajetória necessariamente é o mesmo.

Onde F é a força que o encosto faz sobre o passageiro, e N é a força vinda do assento. Quais são as componentes das forças em cada direção?

∑ F r = N cos ⁡ 45 ° - P cos ⁡ 45 ° - F cos ⁡ 45 ° = - m r β ˙ 2

∑ F t = N cos ⁡ 45 ° - P cos ⁡ 45 ° + F cos ⁡ 45 ° = m r β ¨

E podemos resolver esse sistema para calcular as forças F e N .

Passo 3

Vamos reescrever o sistema (dividindo tudo por cos ⁡ 45 ° ):

N - F = - 2 m r β ˙ 2 + m g = 350,3

N + F = 2 m r β ¨ + m g = 513,3

lembrando que temos os seguintes valores pelo enunciado: r = 6   m ; β = 45 ° ; β ˙ = - 0,8   r a d / s ; β ¨ = - 0,4   r a d / s 2 . (O sinal negativo aparece porque os valores dados no enunciado estavam no sentido horário)

Somando as duas equações:

2 N = 863,6         ⇒   N = 432   N

E subtraindo a primeira da segunda:

2 F = 163         ⇒       F = 81,5   N

Passo 4

E agora só falta comparar com o caso estático. Nesse caso a única força em ação é o peso do passageiro, que precisa ser compensado pela força normal N do assento:

N = m g = 784   N

Resposta

F = 81,5   N e N = 432   N , e no caso estático N = 784   N e F = 0 .

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