Os carros de uma atração de um parque de diversões têm uma velocidade v 1 = 90   k m / h na parte mais baixa do trilho. Determine sua velocidade v 2 na parte mais alta do trilho. Despreze as perdas de erergia devidas ao atrito. (Cuidado: Analise cuidadosamente a variação de energia potencial do conjunto de carros)

Passo 1

Vamos começar resolvendo tudo como se o conjunto de carros fosse uma única partícula concentrada na metade do comprimento do trem.

Vamos chamar os raios desenhados na figura de r = 15   m . Ainda olhando para a figura dá pra ver que o deslocamento total na vertical é:

Δ h = 2 r

Se considerarmos que a energia potencial gravitacional é nula no ponto onde a velocidade é v 1 podemos usar a conservação de energia para escrever o seguinte:

Δ T + Δ U = 0

1 2 M v 2 2 - v 1 2 + M g Δ h = 0

v 2 2 = v 1 2 - 2 g Δ h

v 2 = v 1 2 - 4 g r

Passo 2

Ok, agora para aplicar isso ao caso em que o conjunto não está concentrado na metade do trem temos que calcular o r do centro de massa.

Como o trem já é simétrico em torno dessa linha pontilhada, sabemos que o centro de massa vai estar em algum lugar nessa linha, mas falta calcular a coordenada vertical dele.

y - = 1 L ∫ y   d L = 1 L ∫ - π / 4 π / 4   r cos ⁡ θ   ( r d θ )

E os limites ficaram entre - π / 4 e π / 4 ( ± 45 ° ) considerando que θ = 0 está sobre a linha pontilhada.

L = r π 2 = r π 2

y - = 2 r π ∫ - π / 4 π / 4   r cos ⁡ θ   ( r d θ )

y - = 2 r π ∫ - π / 4 π / 4   cos ⁡ θ   d θ = 2 r π 2 2 - - 2 2 = 2 2 15 π

Pronto, e como já vimos que o centro de massa está sobre aquela linha pontilhada, podemos refazer a conta do passo 1 com:

r = r - = 2 2 15 π

Passo 3

Retomando a fórmula de antes:

v 2 = v 1 2 - 4 g r

Vamos substituir o valor que encontramos:

v 2 = v 1 2 - 4 g 2 2 15 π

E v 1 = 25   m / s , então:

v 2 = 25 2 - 4 ( 9,81 ) 2 2 15 π

v 2 = 9,75   m / s

Resposta

A velocidade na parte mais alta do trilho é v 2 = 9,75   m / s .

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