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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 22

Avalie a soma

∑ k ε i j k ε l m k

(contendo 3 termos). consiclerando o resultado de todas as possíveis combinações de i, j, l, m, ou seja:

a )   i = j

b )   i = l

c )   i = m

d )   j = l

e )   j = m

f )   l = m

g )   i ≠ l   o u   m

h )   j ≠ l   o u   m

Demonstre que

∑ k ε i j k ε l m k = δ i l δ j m - δ i m δ j l

e, a seguir, utilize esse resultado para provar

A × ( B × C ) = ( A ∙ C ) B - ( A ∙ B ) C

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial.

Avaliando cada caso:

Item a

S e   i = j = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i i k ε l m k = 0   p a r a   t o d o s   i ,   l ,   m

Item b

S e   i = l = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i j k ε i m k = 1 ,   s e   j = m   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   j ≠ m                                    

Item c

S e   i = m = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i j k ε l i k = - 1 ,   s e   j = l   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   j ≠ l                                            

Item d

S e   j = l = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i j k ε j m k = - 1 ,   s e   m = i   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   m ≠ i                                        

Item e

S e   j = m = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i j k ε l j k = 1 ,   s e   i = l   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   i ≠ l                                    

Item f

S e   l = m = > ∑ k ε i j k ε l m k = ∑ k ε i j k ε l l k = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j , k

Item g

S e   i ≠ l   o u   m = > i = k   o u   i = j   o u   m = k

L o g o ,   ∑ k ε i j k ε l m k = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j ,   l ,   m

Item h

j ≠ l   o u   m = > ∑ k ε i j k ε l m k = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j ,   l ,   m

Passo 2

Para verificarmos a equação pedida analisaremos cada caso a partir do lado direito da equação:

∑ k ε i j k ε l m k = δ i l δ j m - δ i m δ j l

Caso o comportamento de cada caso seja mantido, validamos a igualdade dada pela equação fornecida.

Item a

S e   i = j = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i l δ i m - δ i m δ j l = 0   p a r a   t o d o s   i ,   l ,   m

Item b

S e   i = l = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i i δ j m - δ i m δ j i = 1 ,   s e   j = m   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   j ≠ m                                    

Item c

S e   i = m = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i l δ j i - δ i i δ j l = - 1 ,   s e   j = l   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   j ≠ l                                            

Item d

S e   j = l = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i l δ l m - δ i m δ l l = - 1 ,   s e   m = i   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   m ≠ i                                        

Item e

S e   j = m = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i l δ m m - δ i m δ m l = 1 ,   s e   i = l   e   k ≠ i ,   j 0 ,   s e   i ≠ l                                    

Item f

S e   l = m = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = δ i l δ j l - δ i l δ j l = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j , k

Item g

S e   i ≠ l   o u   m = > i = k   o u   i = j   o u   m = k

L o g o ,   δ i l δ j m - δ i m δ j l = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j ,   l ,   m

Item h

j ≠ l   o u   m = > δ i l δ j m - δ i m δ j l = 0   p a r a   t o d o s   i ,   j ,   l ,   m

Como todos os itens mantém o comportamento ao utilizarmos o lado direito da equação dada, a igualdade desta é válida, e assim está demonstrada.

Passo 3

Agora, para provarmos:

A × ( B × C ) = ( A ∙ C ) B - ( A ∙ B ) C

Iniciamos por:

B × C i = ∑ J k ε i j k B j C k

Então:

A × B × C l = ∑ m n ε l m n A m B × C n = ∑ m n ε l m n A m ∑ j k ε n j k B j C k =

= ∑ j k m n ε l m n ε n j k A m B j C k = ∑ j k m ∑ n ε l m n ε j k n A m B j C k = ∑ j k m δ j l δ k m - δ k l δ j m A m B j C k =

= ∑ m A m B l C m - ∑ m A m B m C l = B l ∑ m A m C m - C l ∑ m A m B m = A ∙ C B l - A ∙ B C l

Portanto:

A × ( B × C ) = ( A ∙ C ) B - ( A ∙ B ) C

Resposta

Ver passo a passo.

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