Demonstre que a ) grad r^n = n r^(n - 2) r b ) grad f (r) = (r)/(r) (d f)/(d r) c ) grad^2 (ln r) = (1)/(r^2) Passo 1E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de matrizes, vetores e cálculo vetorial. Item a grad r^n = sum_(i = 1)^3 e_i (del r^n)/(del x_i) = sum e_i (del)/(del x_i) [(underset(j)(sum) x_j^2)^((1)/(2))]^n = underset(i)(sum) e_i 2 x_i (n)/(2) (underset(j)(sum) x_j^2)^((n)/(2) - 1) = = underset(i)(sum) e_i x_i n (underset(j)(sum) x_j^2)^((n)/(2) - 1) = underset(i)(sum) e_i x_i n r^(n - 2) Portanto: grad r^n = n r^(n - 2) r Item b grad f (r) = sum_(i = 1)^3 e_i (del f (r))/(del x_i) = sum_(i = 1)^3 e_i (del f (r))/(del r) (del r)/(del x_i) = underset(i)(sum) e_i (del)/(del x_i) (underset(j)(sum) x_j^2)^(- (1)/(2)) (del f (r))/(del r) = = underset(i)(sum) e_i x_i (underset(j)(sum) x_j^2)^(- (1)/(2)) (del f (r))/(del r) = underset(i)(sum) e_i (x_i)/(r) (del f (r))/(del r) Portanto: grad f (r) = (r)/(r) (d f)/(d r) Item c grad^2 (ln r) = underset(i)(sum) (del^2 ln r)/(del x_i^2) = sum (del^2)/(del x_i^2) [ln (underset(j)(sum) x_j^2)^((1)/(2))] = underset(i)(sum) (del)/(del x_i) [((1)/(2) * 2 x_i (underset(j)(sum) x_j^2)^(- (1)/(2)))/((underset(j)(sum) x_j^2)^((1)/(2)))] = = underset(i)(sum) (del)/(del x_i) [x_i (underset(j)(sum) x_j^2)^(- 1)] = underset(i)(sum) (- x_i) (2 x_i) (underset(j)(sum) x_j^2)^(- 2) + underset(i)(sum) (del x_i)/(del x_i) (underset(j)(sum) x_j^2)^(- 1) = = underset(i)(sum) (- 2 x_j^2) (r^2)^(- 2) + 3 ((1)/(r^2)) = - (2 r^2)/(r^4) + (3)/(r^2) = (1)/(r^2) Portanto: grad^2 (ln r) = (1)/(r^2) RespostaVer passo a passo.MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosAvalie a integralint A xx overset(¨)(A) d tDemonstre quegrad (ln |r|) = (r)/(r^2)X é um vetor desconhecido que satisfaz as relações a seguir envolvendo os vetores conhecidos A e B e a grandeza escalar φ , A × X = BeA ∙ X = φ Expresse X em termos de A, B, φ e a magnitude de A.Uma partícula se move em uma órbita elíptica plana descrita pelo vetor de posição r = 2 b s e nω t i + b c o sω t j a )D e t e r m i n ev ,aeav e l o c i d a d ed ap a r t í c u l a . í b )Q u a léoâ Obtenha a lei do cosseno da trigonometria plana interpretando o produto (A - B) . (A - B) e a expansão do produto.Ver TambémVer tudo sobre EstáticaLista de exercícios de VetoresVer exercício 1.Problemas - 32Ver exercício 1.Problemas - 23