Enunciado

A barra de alumínio A B G = 26   G P a é fortemente ligada à barra de latão B D G = 39   G P a . Sabendo-se que a porção C D da barra de latão é vazada e tem um diâmetro interno de 40   m m , determinar a energia de deformação total das duas barras.

Passo 1

Oi, galera bonita! Como estão? Tudo certinho? Espero que sim!

Bora fazer uma questão de energia de deformação pra dominar a matéria? Show, vamos lá!

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U total das barras A B (de alumínio), B C e C D (de latão). Essa energia de deformação total U é a soma entre a energia de deformação U A B da barra A B , a energia de deformação U B C da barra B C e a energia de deformação U C D da barra U C D

U = U A B + U B C + U C D

A figura abaixo mostra os dados que temos para calcular U .

D A B e D B C são os diâmetros das barras A B e B C respectivamente. D i é o diâmetro interno da barra C D . L A B , L B C e L C D são os comprimentos das barras A B , B C e C D respectivamente. T A é o torque que torce as barras.

Como o torque que torce todas as barras é constante e igual a T A , calculamos as energias de deformação U A B , U B C e U C D das barras A B , B C e C D através da equação 10.22 do livro. Essa equação serve para barras com áreas constantes e torques constantes, como é nosso caso.

U B C = T A 2 L B C 2 G B C J B C       |       U C D = T A 2 L C D 2 G C D J C D       |         U A B = T A 2 L A B 2 G A B J A B

G A B , G B C e G C D são os módulos de elasticidade transversais dos materiais das barras. Eles valem:

G A B = 26   G P a       |       G B C = G C D = 39   G P a

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando os momentos de inércia polares J A B , J B C e J C D !

Passo 2

Antes de achar as energias de deformação U A B , U B C e U C D de cada barra, temos que encontrar os valores dos momentos de inércia polares J A B , J B C e J C D de cada barra .

Achamos J A B e J B C , através das fórmulas de momentos de inércia polares para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter os diâmetros de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J A B = π × D A B 4 32       ⟹       J A B = π × 36 × 10 - 3 4 32       ⟹       J A B = 1,6490 × 10 - 7   m 4

J B C = π × D B C 4 32       ⟹       J B C = π × 60 × 10 - 3 4 32       ⟹       J B C = 1,2723 × 10 - 6   m 4

Como a barra C D é vazada, sua fórmula é diferente!

Essa barra tem um diâmetro interno D i e um diâmetro externo D B C .

A fórmula de momento polar para áreas de seção transversal vazadas se encontra abaixo.

Não se esqueça de converter os diâmetros de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J C D = π × D B C 4 - D i 4 32

J C D = π × 60 × 10 - 3 4 - 40 × 10 - 3 4 32

J C D = 1,021 × 10 - 6   m 4

Com J A B , J B C e J C D já podemos calcular as energias de deformação de cada barra no próximo passo!

Passo 3

Substituímos J A B , J B C e J C D nas equações de U A B , U B C e U C D para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso converter o G de G P a para P a , multiplicando G por 10 9 e os comprimentos L de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

U A B = T A 2 L A B 2 G A B J A B       ⟹       U A B = 800 2 × 400 × 10 - 3 2 × 26 × 10 9 × 1,6490 × 10 - 7       ⟹       U A B = 29,85   J

U B C = T A 2 L B C 2 G B C J B C       ⟹       U B C = 800 2 × 375 × 10 - 3 2 × 39 × 10 9 × 1,2723 × 10 - 6       ⟹       U B C = 2,418   J

U C D = T A 2 L C D 2 G C D J C D       ⟹       U C D = 800 2 × 250 × 10 - 3 2 × 39 × 10 9 × 1,021 × 10 - 6       ⟹       U C D = 2,01   J

Somando essas três energias de deformação, conseguimos achar a energia de deformação total U que a questão pede!

U = U A B + U B C + U C D

U = 29,85 + 2,418 + 2,01

U = 34,3   J

Show de bola! Finalizamos a questão! :)

Resposta

U = 34 , 3   J

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Para a treliça e carregamento indicado no Prob. 10.27, determinar a deflexão vertical do ponto C .
Para a treliça e carregamento indicado no Prob. 10.29, determinar a deflexão vertical do ponto C .
O membro cilíndrico A B , vazado e de paredes finas, tem uma seção transversal não-circular e espessura não uniforme. Usando a expressão τ dada na Eq. (3.53), da Sec. 3.13, e a expressão para densidad
Cada membro da treliça mostrada é feito de aço e tem uma seção transversal de área igual a 3230m m 2 . Usando-se E = 200G P a , determinar a deflexão vertical do ponto B , provocada pela carga de 90k
Cada um dos membros da treliça mostrada tem seção transversal uniforme de área A . Usando-se o método do trabalho e energia, determinar a deflexão vertical do ponto de aplicação da carga P .