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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 64

Uma barra circular delgada é sustentada em um plano vertical por um suporte em A. Uma mola de constante k = 45 N/m e comprimento indeformado igual ao arco de círculo AB está presa ao suporte e enrolada frouxamente em volta da barra. Um colar C de 220 g, não ligado à mola, pode deslizar sem atrito ao longo da barra. Sabendo que o colar é liberado do repouso quando 30°, determine (a) a altura máxima acima do ponto B alcançada pelo colar, (b) a velocidade máxima do colar.

Fonte: Beer – Dinâmica – 9ª ed

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Bora lá!!

Bem, vamos analisar o problema pela velha amiga conservação de energia.

Primeiro devemos nos atentar aos momentos descritos no problema. Então, temos os pontos A, B, C e D dados no enunciado, mas o problema quer a altura máxima alcançada pelo colar.

Vamos lembrar que a conservação da energia:

E C 1 + E P 1 + E E 1 = E C 2 + E P 2 + E E 2

Passo 2

Agora vamos as nossas considerações:

  1. As velocidades em C e no momento na altura máxima alcançada pelo colar (chamaremos de ponto E) são nulos. No ponto C ele se encontra em repouso, como dito no enunciado, e no ponto E, a altura máxima alcançada ocorre justamente no momento em que o colar para e retorna, ou seja, v E = 0 . Vejamos isso em um esboço:

  2. E o problema diz que o comprimento indeformado da mola é igual ao arco de círculo AB, ou seja: Δ L B C = R θ

  3. Devemos fazer o diagrama de corpo livre para encontrarmos a energia potencial no ponto C.

  4. A energia potencial elástica no ponto E é nula, pois o enunciado informa que a mola está solta nesse momento (“enrolada frouxamente”).

  5. Como as velocidades nos pontos C e E são nulas, suas respectivas energias cinéticas também. Esse é um bom indício para utilizarmos esses dois momentos como fonte de comparação. Então vamos lá:

E C C + E P C + E E l C = E C E + E P E + E E E               ( 1 )

Passo 3

Como foi dito no item 3, vamos analisar o diagrama de corpo livre no ponto C:

Vamos definir o ponto mais baixo da barra circular como sendo o ponto 0. Assim há energia potencial em C. Como energia potencial se dá por E P = m g x , podemos substituir o x pela subtração R - R c o s θ .

A partir dessas análises, vamos para a conservação da energia.

Desmembrando a eq. 1, temos:

0 + m g R 1 - c o s θ + 1 2 k Δ L B C 2 = 0 + 0 + m g H

Substituindo os valores:

0 + 0,22 * 9,81 * 0,3 1 - c o s 30 + 1 2 45 * 0,3 * π 6 2 = 0 + 0 + 0,22 * 9,81 H

Isolando H e calculando, encontramos que:

H = 297 m m

Passo 4

Agora vamos encontrar qual a máxima velocidade adquirida pelo colar:

Observando atentamente ao problema podemos perceber que certamente a maior velocidade adquirida pelo colar será ao passar pelo ponto B, pois neste ponto não há nem energia elástica nem energia potencial.

Então podemos aplicar a conservação da energia comparando o ponto B com algum outro. Escolhamos o ponto C:

0,22 v m a x 2 2 = 0 + 0,22 * 9,81 * 0,3 1 - c o s 30 + 1 2 45 * 0,3 * π 6 2

Assim, resolvendo a equação, encontramos:

v m a x = 2,41 m s

Resposta

Portanto:

Letra a) H = 297 m m

Letra b) v m a x = 2,41 m s

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A bobina de 50k g tem raio de giração em relação a seu centro O de k O = 300m m . Se ela é solta do repouso, determine sua velocidade angular quando seu centro O houver descido 6m sobre o plano inclin
A barra de 30k g é solta do repouso quando θ = 0 ° . Determine a velocidade angular da barra quando θ = 90 ° . A mola não está deformada quando θ = 0 ° .
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A barra de 30k g é solta do repouso quando θ = 45 ° . Determine a velocidade angular da barra quando θ = 0 ° . A mola não está deformada quando θ = 45 ° .