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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas fundamentais - Ex. 11

A barra de 30   k g é solta do repouso quando θ = 45 ° . Determine a velocidade angular da barra quando θ = 0 ° . A mola não está deformada quando θ = 45 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A conservação de energia é dada por:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Vamos analisar cada componente:

V 1 = m g h 1 + 1 2 k x 1 2

Considerando o ponto inicial h 1 = 0,75 sin ⁡ 45 ° e x 1 = 0 , temos:

V 1 = 30 9,81 0,75 sin ⁡ 45 ° + 0

V 1 = 156,08

Temos também que:

T 1 = 1 2 I G ω 1 2 + 1 2 m v 1 2

Como o sistema está em repouso no momento inicial, temos que v 1 e ω 1 são nulos, logo:

T 1 = 0

Passo 2

Para o momento final, temos:

V 2 = m g h 2 + 1 2 k x 2 2

Temos que h 2 = 0 , logo:

V 2 = 0 + 1 2 300 1,5 - 1,5 cos ⁡ 45 ° 2

V 2 = 28,95   J

A parcela cinética final será:

T 2 = 1 2 I G ω 2 + 1 2 m v 2 2

Onde I G = 1 12 m L 2 para uma barra de comprimento L :

I G = 1 12 30 1,5 2

I G = 5,625

Como v 2 pode ser retratado como, v 2 = ω r , temos:

v 2 = ω 0,75

v 2 = 0,75 ω

Logo:

T 2 = 1 2 5,625 ω 2 + 1 2 30 0,75 ω 2

T 2 = 11,25 ω 2

Passo 3

Vamos aplicar conservação de energia:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 + 156,08 = 11,25 ω 2 + ( 28,95 )

ω = 3,362   r a d / s

Resposta

ω = 3,362   r a d / s

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