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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 43

Para a barra composta indicada, determine o raio de curvatura provocado pelo momento fletor 200   N m

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em aço.

n = E a l u m i n i o   E a ç o   = 70 210 = 0,33

E para mudarmos a largura do alumínio precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,33   .   36 = 12   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar o raio de curvatura dado pela seguinte equação:

1 ρ = M I E

Mas para podermos determinar o momento de inércia, precisamos determinar a linha neutra, e a linha neutra vai ser dada pela seguinte equação:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Sabendo que as dimensões são dadas por:

Assim temos que:

A 1 = 36 × 12 = 432   m m 2

A 2 = 12 × 12 = 144   m m 2

y - = 432 × 18 + 144 × 6,0 432 + 144 = 15   m m

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples, e d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN. Assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 36 × 12 = 432   m m 2

A 2 = 12 × 12 = 144   m m 2

I 1 = b h 3 12 = 36 × 12 3 12 = 5184   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 12 × 12 3 12 = 1728   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

I = 5184 + 1728 + ( 432 × 3 2 + 144 × 9 2 )

I = 22464   m m 4

E lembra que o nosso objetivo é determinar o raio de giração, e sabemos que o cálculo é feito da seguinte maneira:

1 ρ = M I E

ρ = E I M

Como tudo foi convertido para aço, podemos usar o modulo de elasticidade do aço, sendo assim teremos que:

E = 2 1 0   G P a = 2 1 0000   M P a = 2 1 0000   N / m m 2

I = 22464   m m 4

M = 200   N m = 200000   N m m

ρ = 210000   N m m 2 22464   m m 4 200000     N m m = 23587,2   m m = 23,6   m

Resposta

ρ = 23,6   m

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