Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 108
A barra com diâmetro de está presa em suas extremidades e suporta a carga axial . Se o material for elástico perfeitamente plástico como mostra o diagrama tensão-deformação, determine a menor carga necessária para provocar o escoamento do segmento . Se essa carga for liberada, determine o deslocamento permanente do ponto .
Passo 1
OBS: o enunciado tem um erro fatal! Procurar para o escoamento de torna o resto da questão trivial. Resolva procurando para o escoamento da seção ! Relaxa que vai ficar tudo claro!
Uma barra horizontal entre suportes rígidos em e sofre um carregamento para esquerda em .
Características da barra:
- Limite de escoamento:, . (Gráfico)
- Módulo de elasticidade: . (Gráfico)
- Área transversal: .
- Comprimentos iniciais: , .
- Material elastoplástico.
Queremos descobrir qual o menor valor necessário para a carga que faça a seção escoar.
Depois, queremos saber qual é o deslocamento permanente do ponto após ser retirado.
Uma coisa de cada vez. O menor valor para causar o escoamento de é no instante em que a tensão em atingir o limite de escoamento . Vamos atrás disso então!
Passo 2
Antes de sair fazendo conta, vamos pensar um pouco: já dá pra descobrir qual seção escoa primeiro?
Bem, a ação da força vai deslocar algum comprimento para esquerda. Isso vai deformar as seções, comprimindo e esticando o mesmo comprimento! A definição de deformação é pegarmos justamente esse deslocamento e dividirmos pelo tamanho inicial:
Aí que vem a sacada! Perceba que ! Como é o mesmo , temos que sempre
Show! Então a seção sempre escoa primeiro, porque ela chega na deformação antes!
Por causa dessa sacada, a gente não precisa conferir nada de regime elástico! Quando entrar no regime plástico, a seção já vai ter escoado!
Agora vamos ver como ficam as forças com a barra inteira em regime plástico!
Passo 3
Beleza, então depois desse blá blá blá todo, vamos pras contas!
Estamos procurando uma força (), então vamos ver como está o equilíbrio. Só tem uma direção, as reações e vão resistir o carregamento.
Queremos o valor de quando a seção começa a escoar. Então a reação que está tracionando tem que gerar uma tensão
Pela fórmula da tensão, já podemos achar
Como vimos no Passo 2, quando escoar, a seção já vai estar em regime plástico. O material é elastoplástico, então a tensão se mantém sendo
De novo, pela fórmula da tensão:
Passo 4
Já matamos a primeira parte da questão!
Isso é tudo que nos interessa a respeito da barra estar carregada:
- : regime plástico, compressão, .
- : regime plástico, tração, .
Agora bora ver o que acontece quando tiramos o carregamento ! Queremos descobrir o deslocamento permanente de !
Passo 5
Quando a força for retirada, ocorrerá um pouco de recuperação elástica da barra. Porém, os apoios irão resistir essa recuperação, e teremos tensões residuais como resultado disso tudo.
O jeito fácil é pensar com o princípio da superposição: imagine uma força contrária ao carregamento, ou seja, empurrando para direita em ! A recuperação é elástica, então precisamos resolver o problema no regime elástico para descobrir quais tensões são induzidas.
Vamos marcar como essas tensões da recuperação. Vejamos a compatibilidade dos deslocamentos.
Para não se confundir, veja na figura como ficam as forças internas na recuperação elástica.
Princípio da superposição vai facilitar aqui também. Olhe para o ponto .
- O carregamento puxa a seção para direita, movendo para direita um comprimento .
- A reação empurra a barra toda ( para esquerda, então vai para a esquerda um comprimento
Como o apoio é rígido em (não se move), esses efeitos tem que se anular:
Estamos tratando de regime elástico. Relação carga-deslocamento
Passo 6
Lembrando que calculamos para a situação em que começa a escoar, a recuperação elástica vai levar a seção de volta ao regime elástico! Então a tensão residual em segue a Lei de Hooke:
Vejamos como fica . Na seção , temos tração (positivo) de e recuperação (compressão, negativo) de . Então:
Tensão residual positiva! Tração. O ponto vai terminar indo para esquerda um comprimento .
Finalmente, para achar o valor de :
Resposta
Carga: .
Deslocamento permanente de : para esquerda.