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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 114

A haste de alumínio 2014-T 6 tem diâmetro de 12   mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T 1 = 25   ° C . Se a temperatura baixar para T 2 = - 20   ° C e uma força axial P = 80   N for aplicada ao colar rígido, como mostra a figura, determine as reações em A e B .

Passo 1

Uma haste entre apoios A e B é empurrada para direita em C por um carregamento P = 80   N . A haste também sofre variação de temperatura Δ T = - 20 - 25 = - 45   ° C .

Características da haste:

  • Alumínio 2014-T 6 : E = 73,1   GPa , α = 23 10 - 6   ° C .
  • Área transversal: A A B = π ⋅ 12 2 / 4 = 113,097   mm 2
  • Comprimentos iniciais: L A C = 125   mm , L C B = 200   mm .

A variação de temperatura Δ T = - 45   ° C irá causar uma contração da haste. Já o carregamento P irá esticar a seção A C e comprimir a seção C B .

Os suportes irão resistir a esses efeitos com forças F A e F B .

Queremos achar essas forças!

Passo 2

Questão com uma dimensão só, já sabe que é tranquilo! Mas fique atento com o seguinte: por causa do formato dos suportes, eles irão esticar a haste. A força F A vai apontar para esquerda e a força F B para direita. Vejamos como fica na condição de equilíbrio:

∑ F = 0           →       - F A + P + F B = 0

F A - F B = 80   N

Vamos precisar de mais uma equação!

Passo 3

Temos vários efeitos para considerar aqui na compatibilidade. Vamos ver as forças primeiro!

Usando o princípio da superposição, olhe para o ponto B .

  • O carregamento P puxa a seção A C para direita, movendo B para direita um comprimento δ P .
  • A reação F B puxa a barra toda ( A C ) para direita, então B vai para a direita um comprimento δ F B .

Além disso, a variação de temperatura Δ T = - 45   ° C irá alterar o comprimento da barra como um todo em δ T (contração)

Como o apoio é rígido em B (não se move), todos esses efeitos tem que se anular:

δ P + δ F B + δ T = 0

Temos fórmulas pra todos esses caras! Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

E expansão/contração térmica:

δ T = α   Δ T   L

Agora substitua tudo isso, com L = L A C + L C B . Lembre-se que a força F B está atuando para a direita!

P   L A C A   E + F B   L A   E + α   Δ T   L = 0           →         P L A C L + F B + A   E   α   Δ T = 0

80   N ⋅ 125   mm 325   mm + F B + 113,097   mm 2 ⋅ 73,1   GPa ⋅ 23 ⋅ 10 - 6   ° C ⋅ - 45   ° C = 0

0,0308   kN + F B - 8,5567   kN = 0

F B = 8,526   kN

Agora substitua F B = 8,526   kN na condição de equilíbrio para acabar:

- F A + P + F B = 0           →       F A = 8,606   kN

Resposta

Reação em A : F A = 8,606   kN .

Reação em B : F B = 8,526   kN .

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