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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 55

A barra dobrada possui uma massa ρ por unidade de comprimento e gira em relação ao eixo z com uma velocidade angular ω . Determine a quantidade de movimento angular H o da barra em relação à origem fixa O dos eixos, que são presos à barra. Encontre também a energia cinética T da barra.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, temos que encontrar as componentes do tensor de inércia da barra girando em torno de cada eixo. Após isso, vamos aplicar na equação de H o para encontrarmos a energia cinética do corpo.

Passo 2

Vamos começar analisando os dados do enunciado. Nos é dito que a barra gira em torno apenas do eixo z , sendo assim ω x = ω y = 0 e isso nos dá que H o será

H o = - I x z ⋅ i - I y z ⋅ j + I z z ⋅ k ⋅ ω

Agora precisamos calcular as componentes do tensor de inércia. Podemos separar todo o sistema em 3 barras como na imagem mostrada acima, assim precisaremos calcular essas componentes para cada barra e somar seus valores.

Para a barra em x - z , teremos que

I x z = ∭ x ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = 0

I y z = ∭ y ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = 0

I z z = ∭ x 2 + y 2 ⋅ ρ ⋅ d V = 1 3 ⋅ ρ ⋅ b 3

Em y - z temos

I x z = ∭ x ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = 0

I y z = ∭ y ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = 1 2 ⋅ ρ ⋅ b 3

I z z = ∭ x 2 + y 2 ⋅ ρ ⋅ d V = ρ ⋅ b 3

E para x - y vamos ter

I x z = ∭ x ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = 1 2 ⋅ ρ ⋅ b 3

I y z = ∭ y ⋅ z ⋅ ρ ⋅ d V = ρ ⋅ b 3

I z z = ∭ x 2 + y 2 ⋅ ρ ⋅ d V = 4 3 ⋅ ρ ⋅ b 3

Se somarmos todos os termos, teremos que nosso tensor de inércia tem as componentes

I x z = 1 2 ⋅ ρ ⋅ b 3

I y z = 3 2 ⋅ ρ ⋅ b 3

I z z = 8 3 ⋅ ρ ⋅ b 3

Substituindo agora na equação de H o teremos que

H o = - 1 2 ⋅ ρ ⋅ b 3 ⋅ i - 3 2 ⋅ ρ ⋅ b 3 ⋅ j + 8 3 ⋅ ρ ⋅ b 3 ⋅ k ⋅ ω

H o = ρ ⋅ b 3 ⋅ - 1 2 ⋅ i - 3 2 ⋅ j + 8 3 ⋅ k ⋅ ω

Passo 3

Para encontrarmos a energia cinética do sistema usaremos a seguinte equação

T = 1 2 ⋅ ω ⋅ H O

Substituindo os valores e realizando o produto escalar, encontraremos que:

T = 4 3 ⋅ ρ ⋅ b 3 ⋅ ω 2

Resposta

H o = ρ ⋅ b 3 ⋅ - 1 2 ⋅ i - 3 2 ⋅ j + 8 3 ⋅ k ⋅ ω

T = 4 3 ⋅ ρ ⋅ b 3 ⋅ ω 2

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