Enunciado

A barra A B é feita de um aço de alta resistência para o qual σ e = 750   M P a e E = 200   G P a . Uma energia de deformação de 25   J deve ser acumulada pela barra quando a força axial P é aplicada. Sabendo-se que o diâmetro da barra é L = 2,25   m , determinar o diâmetro da barra para a qual o coeficiente de segurança, em relação à deformação permanente, é cinco.

Passo 1

Olá, pessoas! Esse é mais um exercício de energia de deformação! Estão prontos pra ele?

O enunciado quer que a gente calcule o diâmetro D da barra que faz o coeficiente de segurança C S ser igual a 5 .

C S = 5       ⟹       D = ?

O coeficiente de segurança C S é a divisão entre a energia de deformação máxima U e que a barra atinge antes de se deformar permanentemente (quando a tensão é igual à tensão de escoamento σ e = 750   M P a ) e a energia de deformação U = 25   J que a barra tem ao ser tracionada com uma força P .

C S = U e U       ⟹       U e = C S × U

Se a gente substituir C S por 5 na fórmula acima, fica mais fácil de perceber o que o enunciado quer de verdade. Ele quer o valor do diâmetro D que faz U e ser 5 vezes maior que U .

U e = C S × U       ⟹       U e = 5 × U

A figura abaixo mostra todos os dados que precisamos para achar esse D .

A é a área da seção transversal da barra. L é o comprimento da barra. E é o módulo de elasticidade da barra. σ e é a máxima tensão que a barra pode sofrer sem se deformar permanentemente.

Para achar a energia de deformação máxima U e , precisamos achar a máxima carga P e que causa essa deformação máxima. Essa carga é igual à tensão σ e vezes A .

P e = σ e × A

Para calcular a energia de deformação U e a partir da força P e precisamos usar a equação 10.14 do livro. Essa equação é válida para barras com áreas da seção transversal A constantes, como é o nosso caso!

U e = P e 2 L 2 A E

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular o diâmetro D da barra nos próximos passos!

Passo 2

Agora, vamos cumprir a primeira etapa que precisamos para achar o diâmetro D . Nessa etapa, vamos achar a expressão da área A , depois calcularemos P e em função do diâmetro D e, por último, calcularemos U e .

Então vamos iniciar, achando a área A .

A = π × D 2 4

Oba, fizemos a primeira parte! Agora vamos partir para o cálculo de P e ! Antes, para a força P e dar um resultado em newton N , temos que lembrar que a tensão de escoamento σ e = 750   M P a é igual à σ e = 750 × 10 6   P a .

P e = σ e × A       ⟹       P e = 750 × 10 6 × π × D 2 4

Agora estamos prontos para encerrar a primeira etapa, calculando a energia de deformação U e !

U e = C S × U       ⟹       U e = 5 × 25       ⟹       U e = 125   J

Agora que temos todos esses valores, podemos substituir todos os termos da outra equação de U e para achar o valor do diâmetro D !

Passo 3

Nesse passo, vamos enfim achar o valor de D . Mas não se apresse. Para o resultado da conta dar em metro m , precisamos converter o módulo de elasticidade E de G P a para P a .

Fazemos isso, multiplicando o valor de E em G P a por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

Substituindo esse valor na equação de U e , ela vira:

U e = P e 2 L 2 A E

125 = 750 × 10 6 × π × D 2 4 2 × 2,25 2 × π × D 2 4 × 200 × 10 9

125 = 750 × 10 6 2 × π × D 2 4 2 × 2,25 2 × π × D 2 4 × 200 × 10 9

Isolando o D em um lado da equação e passado todos os outros termos para o lado oposto, achamos:

D = 125 × 2 × 200 × 10 9 × 4 750 × 10 6 2 × 2,25 × π

D = 0,007   m

D = 7   m m

Aeeeee! Pronto! Terminamos essa questão! Parabéns!

Resposta

D = 7   m m

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