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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 62

A temperatura da barra composta do P r o b .   2.43 é aumentada para 80 ° C . Sabendo-se que, para o aço E = 200   G P a   e   α = 11,7   .   10 - 6   ° C - 1 , para o latão E = 105   G P a   e   α = 20,9   .   10 - 6   ° C - 1 , e que nenhuma força é aplicada em B ou D, determinar:

  1. As tensões normais nas porções AC e CE;
  2. A deformação na porção AC.

Passo 1

Sabemos que as barras iram aquecer e deverão vencer os vãos que elas fazem parte, e irão começar a se pressionar, com isso, elas produziram forças que deveremos calcular.

∑ F v = 0 = F A - F D

F A = F D

Mas agora precisamos de uma equação de compatibilidade para podermos resolver o nosso problema. Perceba que a deformação total entre os pontos A e D tem que ser igual a distância entre as barras, que nesse caso é 0,5mm no somatório de deformações, e que teremos deformações devido a temperatura e devido aos normais que aparecem nas paredes, dessa forma teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,12

Em que:

δ A B = N A B L A B E A B A A B

δ C D = N C D L C D E C D A C D

δ T A B = L A B ∆ T α A B

δ T C D = L C D ∆ T α C D

E sabemos que os dados do enunciado são dados por:

L A B = 300 m m

L C D = 200 m m

A A B = π D 2 4 = π 40 2 4 = 1257   m m 2

A C D = π D 2 4 = π 30 2 4 = 707   m m 2

∆ T = 80 °

E A B = 200   G P a = 200 k N m m 2

E C D = 105   G P a = 105 k N m m 2

α A B = 11,7   .   10 - 6 1 C °

α C D = 20,9   .   10 - 6 1 C °

E agora só precisamos determinar os normais relacionados com as forças que queremos descobrir.

Passo 2

Usando o nosso diagrama teremos que:

  • Trecho AB

    • Sendo assim teremos que:

    F A + N A B = 0

    N A B = - F A

  • Trecho CD

Sendo assim teremos que:

F A + N C D = 0

N C D = - F A

Substituindo na nossa fórmula teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,12

N A B L A B E A B A A B + L A B ∆ T α A B + N C D L C D E C D A C D + L C D ∆ T α C D = 0,12

- F A   .     300 200   .     1257 + 300   .     80   .   11,7   .     10 - 6 + - F A   .     200 105   .     707 + 200   .     80   .     20,9   .   10 - 6 = 0,12

- F A   .   1,193   .   10 - 3 + 0,2808 - F A   .   2,694   .   10 - 3 + 0,3344 = 0,12

3,887   .     10 - 3   .     F A = 0,4952

F A = F C = 127,4   k N

Passo 3

Se temos a força podemos definir as tensões normais, que é a força dividido pela área da seção, sendo assim teremos que:

  1. Barra AB

σ A B = N A B A A B = - F A A A B = - 127,4 1257   k N m m 2 = - 0,101 G P a = - 101,3   M P a

  1. Barra CD

σ C D = N C D A C D = - F A A C D = - 127,4 707   k N m m 2 = - 0,180 G P a = - 180,2   M P a

E sabemos que para determinar a deformação ada barra AB precisamos fazer o seguinte:

δ A B = δ T A B - δ C D

δ A B = L A B ∆ T α A B - N A B L A B E A B A A B

δ A B = 300   .   80   .     11,7   .     10 - 6 - 127,4   .     300 200   .     1257 = 0,1288 m m = 128,8   μ m

Resposta

  1. σ A B = - 101,3   M P a e σ C D = - 180,2   M P a
  2. δ A B = 128,8   μ m
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