Enunciado

A barra A B é feita de uma liga de alumínio para a qual a tensão de escoamento é σ e = 300   M P a e o módulo de elasticidade é E = 75   G P a ; a barra B C é feita de um tipo de aço para o qual a σ e = 420   M P a e E = 200   G P a . Determinar a máxima energia de deformação que pode ser acumulada pela barra composta A B C sem causar qualquer deformação permanente.

Passo 1

Oi, pessoa! Tudo tranquilinho? Animadão pra mais um exercício de energia de deformação?

A questão quer saber qual é a energia de deformação máxima U que a barra A B C pode absorver sem escoar. Essa barra é formada por duas partes diferentes: a parte 1 mais grossa feita de alumínio com módulo de elasticidade E 1 = 75   G P a e tensão de escoamento σ e 1 = 300   M P a e a parte 2 mais fina feita de aço com E 2 = 200   G P a e σ e 2 = 420   M P a .

P e é a força que faz a barra começar a se deformar de forma permanente. Ou seja, é a força que gera uma tensão máxima σ e na barra, fazendo a barra escoar. Em outras palavras, P e é a força máxima que faz a barra A B C absorver a energia máxima U ! Para achar o P e , temos que comparar a força P e 1 que faz a parte grossa escoar com a força P e 2 que faz a parte fina escoar. A menor das duas será a força P e que faz a barra total A B C escoar!

P e 1 = σ e 1 × A 1

P e 2 = σ e 2 × A 2

A 1 é a área da seção transversal da parte mais grossa da barra A B C . A 2 é a área da seção transversal da parte mais fina da barra A B C .

Além disso, l é o comprimento da parte mais grossa e L é o comprimento da parte mais fina.

Tá, mas como podemos calcular U a partir de P e ?

A barra A B C é formada por duas partes com área constante: a parte 1 com área A 1 e a parte dois com área A 2 . Logo, sua energia de deformação máxima U é a soma entra as energias de deformação da barra 1 U 1 e da barra 2 U 2 .

U = U 1 + U 2

Como essas duas barras têm áreas de seção transversal constantes, podemos usar a fórmula 10.14 do livro que calcula as energias de deformação U 1 e U 2 delas.

U 1 = P e 2 l 2 A 1 E 1

U 2 = P e 2 L 2 A 2 E 2

Substituindo U 1 e U 2 na equação de U :

U = P e 2 l 2 A 1 E 1 + P e 2 L 2 A 2 E 2

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular a força máxima P e aplicada sobre a barra A B C no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo nós vamos calcular quanto vale P e para depois calcular a energia de deformação U da barra completa. Para isso, precisamos achar as áreas A 1 e A 2 em m 2 .

A 1 = π × D 1 2 4       ⟹       A 1 = π × 18 2 4       ⟹       A 1 = 254   m m 2       ⟹       A 1 = 254 × 10 - 6   m 2

A 2 = π × D 2 2 4       ⟹       A 2 = π × 12 2 4       ⟹       A 2 = 113   m m 2       ⟹       A 2 = 113 × 10 - 6   m 2

Antes de achar P e 1 e P e 2 , precisamos lembrar que a tensão σ e 1 = 300   M P a vale σ e 1 = 300 × 10 6   P a e que a tensão σ e 2 = 420   M P a vale σ e 2 = 420 × 10 6   P a .

P e 1 = σ e 1 × A 1       ⟹       P e 1 = 300 × 10 6 × 254 × 10 - 6       ⟹       P e 1 = 76200   N

P e 2 = σ e 2 × A 2       ⟹       P e 2 = 420 × 10 6 × 113 × 10 - 6       ⟹       P e 2 = 47460   N

Como P e 2 é menor que P e 1 , P e é igual a P e 2 ! Logo:

P e = P e 2 = 47460   N

Com esse valor em mãos, podemos achar U no próximo passo.

Passo 3

Nesse passo, já podemos calcular U . No entanto, antes de calcular U , temos que lembrar que E 1 = 75   G P a vale E 1 = 75 × 10 9   P a e que E 2 = 200   G P a vale E 2 = 200 × 10 9   P a .

Substituindo esses valores na equação de U :

U = P e 2 l 2 A 1 E 1 + P e 2 L 2 A 2 E 2

U = 47460 2 × 0,6 2 × 254 × 10 - 6 × 75 × 10 9 + 47460 2 × 0,9 2 × 113 × 10 - 6 × 200 × 10 9

U = 80,32   J

Resposta

U = 80,32   J

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