Enunciado

O diagrama tensão-deformação mostrado foi desenhado a partir dos dados obtidos durante um ensaio de tração de um corpo de prova de uma liga de alumínio. Usando E = 72   G P a , determinar:

  1. o módulo de resiliência da liga;
  2. por meio aproximado o módulo de tenacidade da liga.

Passo 1

E aí, pessoas! Estudando muito?

O exercício quer que a gente calcule o valor módulo de resliliência u e e do módulo de tenacidade de uma liga de alumínio. O módulo de resiliência u e de qualquer material é igual à área embaixo da reta O Y de um diagrama tensão-deformação σ - ε . Esse diagrama e os dados que a questão nos informa para calcular u e são mostrados abaixo.

σ e é a tensão de escoamento do material. E é o módulo de elasticidade do material. ε e é a deformação a partir da qual o material começa a escoar.

O módulo de resiliência u e é uma área muito pequena pintada de laranja.

O módulo de tenacidade é toda a área sob a curva do diagrama tensão-deformação.

Para calcular aproximadamente o módulo de tenacidade da liga, temos que somar o módulo de resiliência u e com as áreas de dois trapézios A 1 e A 2 .

Resumindo, tanto para calcular o módulo de resiliência u e quanto para calcular o módulo de tenacidade, precisamos calcular as áreas sob as curvas. Vamos começar calculando o u e .

Passo 2

Para calcular u e , precisamos saber quanto vale a tensão de escoamento σ e da liga, porque σ e é a altura h do triângulo que forma a área sob a reta O Y ! A base desse triângulo é igual a ε e = 0,0055 .

A figura abaixo mostra a área exagerada do triângulo que fica abaixo de O Y .

Vimos agora que para achar u e , precisamos achar σ e . A fórmula da tensão de escoamento σ e em função de u e se encontra abaixo.

σ e = E ⋅ ε e

No entanto, para usar essa fórmula temos que converter E de G P a para P a , multiplicando o valor em G P a por 10 9 .

E = 72   G P a       ⟹       E = 72 ⋅ 10 9   P a

Pronto, enfim podemos achar σ e .

σ e = E ⋅ ε e       ⟹       σ e = 72 ⋅ 10 9 ⋅ 0,0055       ⟹       σ e = 396 ⋅ 10 6   P a

Substituindo esse valor na fórmula de u e presente no gráfico, achamos:

u e = ε e ⋅ σ e 2       ⟹       u e = 0,0055 ⋅ 396 ⋅ 10 6 2       ⟹       u e = 1089000   J m 3

Podemos converter esse resultado de J / m 3 para M J / m 3 , dividindo u e por 10 6 .

u e = 1,089   M J m 3  

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo d etenacidade nesse passo. Para isso, temos que achar as áreas A 1 e A 2 dos trapézios. A fórmula da área dos trapézios é base maior B mais base menor b , vezes altura do trapézio h dividido por 2 .

A 1 = B 1 + b 1 ⋅ h 1 2

A 2 = B 2 + b 2 ⋅ h 2 2

No caso dos trapézios, a altura h não são valores de tensão σ , mas sim diferenças entre valores de deformação Δ ε . As tensões σ são as bases B e b . Esses valores de tensão que representam as bases B e b do trapézio são aproximados encontrados através da visualização do gráfico.

Isso fica mais claro olhando para a figura abaixo.

Antes de utilizar as informações da figura, temos que converter as tensões σ 1 , σ 2 de M P a para P a , multiplicando as tensões por 10 6 .

σ 1 = 500   M P a = 500 ⋅ 10 6   P a

σ 2 = 470   M P a = 470 ⋅ 10 6   P a

Agora sim, usando as informações presentes na figura, achamos:

A 1 = σ e + σ 1 ⋅ Δ ε 1 2       ⟹       A 1 = 396 + 500 ⋅ 10 6 ⋅ 0,1345 2       ⟹       A 1 = 60,256 ⋅ 10 6   J m 3

A 2 = σ 1 + σ 2 ⋅ Δ ε 2 2       ⟹       A 2 = 500 + 470 ⋅ 10 6 ⋅ 0,04 2       ⟹       A 2 = 19,4 ⋅ 10 6   J m 3

Cuidado! O valor de u e que devemos colocar na fórmula do módulo de tenacidade deve estar em J / m 3 !

Como o módulo de tenacidade é a soma de todas as áreas, encontramos:

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = u e + A 1 + A 2

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 1089000 + 60,256 ⋅ 10 6 + 19,4 ⋅ 10 6

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e ≈ 81 ⋅ 10 6   J m 3

Resposta

a   u e = 1,089   M J m 3

b   m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 81 ⋅ 10 6   J m 3

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