Enunciado

A barra está presa por um pino em A e é sustentada por duas hastes de alumínio, cada uma com diâmetro de 25   mm e módulo de elasticidade E a l =   70   GPa . Considerando que a barra é rígida e inicialmente vertical, determine o deslocamento da extremidade B quando for aplicada uma força de 10   kN .

Passo 1

Uma barra vertical rígida está presa a duas hastes em C e E , e a um pino em A .

Características das hastes C D e E F :

  • Alumínio: E =   70   GPa .
  • Diâmetro: d = 25   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L C D = 0,6   m e L E F = 0,3   m

Uma força horizontal de 10   kN puxa a barra para a direita bem no meio dela. A barra rígida vai girar ao redor do pino em A .

Queremos saber o quanto a extremidade B se move, δ B .

Passo 2

A barra vai girar ao redor do pino em A . Como ela é rígida, ela não se deforma. Vamos ver como os deslocamentos das hastes se relacionam. A barra é a linha preta na figura.

Lembrando que queremos calcular δ B , vamos relacionar isso com o deslocamento de alguma haste. Na figura temos três triângulos com um ângulo em comum. Olhando pra dois deles, podemos formar uma equação com a tangente do ângulo:

δ B 1,2 =   δ C 0,3 →   δ B = 4 δ C

Pronto, se acharmos δ C o problema acabou. Vamos precisar da fórmula da relação carga-deslocamento

δ = F   L A   E

A área A da haste a gente consegue calcular, e sabemos L e E . Então pra achar δ C só nos falta achar F C .

Passo 3

Se estamos procurando uma força, fazemos o diagrama de corpo livre. Só as reações horizontais nos interessam aqui.

Vamos fazer o equilíbrio de momentos no ponto A , assim a força F A não contribui.

∑ M A = 0 → 0,3 F C - 0,6 ⋅ 10   kN + 0,9 F E = 0

F C + 3 F E = 20   kN

Precisamos de outra equação que relacione apenas essas forças.

Passo 4

Volte na figura do Passo 2. Vamos usar a tangente do ângulo de novo, agora para relacionar as forças F E e F C . Olhando pro triângulo intermediário e pro menor, temos

δ E 0,9 = δ C 0,3 →   δ E =   3 δ C

E usando a fórmula da relação carga-deslocamento:

F E   L E F A   E = 3 F C   L C D A   E

Substitua os valores para achar:

F E = 6 F C

Passo 5

Use F E = 6 F C em F C + 3 F E = 20   kN para obter

F C = 1,0526   kN

Agora podemos calcular δ C = F C   L A   E .

A área haste C D é A = π d 2 / 4 = 490,87   mm 2 . Então

δ C = 1,0526   kN ⋅ 0,6   m 490,87   mm 2 ⋅ 70   GPa = 0,01838   mm

Passo 6

Pela relação que achamos no Passo 2:

δ B = 4 δ C = 0,07352   mm

Resposta

Deslocamento da extremidade B : δ B = 0,07352   mm

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