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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 42

Dois cabos de aço A-36 são usados para suportar o motor de 3,25   k N   ( ≈ 325   k g ) . O comprimento original de A B é 800   m m e o de A ’ B ’   é   800,2   m m . Determine a força suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por eles. Cada cabo tem área de seção transversal de 6,25   m m ² .

Passo 1

Falaa!

Vamos entender a situação do nosso problema. Temos dois cabos de aço-36, um é maior que o outro. Eles dois juntos precisam suportar a carga P = 3,25   k N juntos. Cada um vai resistir a uma parcela dessa carga. E é isso que ele quer saber, a força em cada cabo.

Bora fazer um DLC do gancho

Com isso, podemos utilizar a fórmula do equilíbrio no eixo y :

↑ ∑ F y = 0 T A B + T A ' B ' = 3250   N

Percebe que a gente tem apenas uma equação que relaciona essas duas incógnitas que queremos achar? Precisamos então de mais uma equação.

Passo 2

Vamos tentar achar essa equação que falta da compatibilidade de deslocamentos.

No início da situação, sem carga, o cabo AB está retinho, mas o A’B’ está frouxo porque ele é maior. Mas por causa da carga, eles vão ser esticados e alongados. Algo assim:

Vamos dizer que inicialmente A e A ' estão na altura do ponto h .

No processo de aplicação da carga, primeiro o cabo que já estava reto vai ser deformado enquando o outro cabo maior vai só ficar reto, nisso o ponto h desce para h ' . Aí depois os dois cabos sofrem um alongamento, aí o ponto h ' desce e vai para h ' ' .

Aí da figura, vemos que o alongamento total do cabo AB é igual a 0,2   m m = 0,2 10 3   m mais o alongamento de A ' B ' . Aí podemos escrever assim:

δ A B = δ A ' B ' + 0 , 2   10 - 3

δ A ' B ' = δ A B - 0,2   10 - 3

Passo 3

Agora, temos que aplicar a fórmula de δ   para cada um:

δ = N L E A

Fica assim:

δ A ' B ' = δ A B - 0,2   10 - 3

T A ' B ' L A ' B ' E a ç o A A B = T A B L A B E a ç o A A B - 0,2   10 - 3

T A ' B ' = A E a ç o L A ' B ' T A B L A B A E a ç o - 0,2   10 - 3

Aqui é importante notar que a gente pode considerar que E a ç o = 200   G P a (tabelado). Vamos substituir isso e os outros dados aí:

T A ' B ' = 6,25 × 10 - 6 × 200 × 10 9 800,2 × 10 - 3 T A B × 800 × 10 - 3 6,25 × 10 - 6 × 200 × 10 9 - 0,2   10 - 3

T A ' B ' = 0,99975 T A B - 312 , 42 2

Essa é nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, achamos as T ' s pelo sisteminha de suas equações:

T A B + T A ' B ' = 3250

T A ' B ' = 0,99975 T A B - 312,422

Substituindo a segunda equação na primeira e isolando T A B :

T A B = 1,781   k N

Agora substituindo essa resposta na primeira e isolando T A ' B ' :

T A ' B ' = 1,469   k N

Obs: a resposta do livro está invertida, mas estamos certinhos aqui, tá? Pode ser um errinho no gabarito mesmo.

Resposta

T A B = 1,781   k N

T A ' B ' = 1,469   k N

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