Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 85
A barra tem área de seção transversal , comprimento , módulo de elasticidade e coeficiente de expansão térmica . A temperatura da barra muda uniformemente ao longo de seu comprimento de em para em de modo que, em qualquer ponto ao longo da barra, . Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas. Inicialmente, não há nenhuma força axial na barra.
Passo 1
Uma barra entre paredes rígidas é aquecida. Essa questão não tem valores, vamos anotar tudo que sabemos.
Características da barra:
- Módulo de elasticidade: .
- Coeficiente de expansão térmica: .
- Comprimento inicial: .
- Área transversal: .
A temperatura inicial da barra era . A barra foi aquecida, e a temperatura na posição () ficou como
Podemos escrever o aumento de temperatura então:
Até aqui todas essas letras são pra serem consideradas conhecidas!
Mas o que está ocorrendo com a barra afinal? A diferença de temperatura irá induzir uma expansão térmica, e as paredes irão resistir à expansão com uma força .
Queremos achar uma expressão que defina essa força .
Passo 2
Quais são os efeitos atuando na barra?
- O aumento de temperatura vai causar uma expansão da barra:
- A reação das paredes vai comprimir a barra, reduzindo: .
Como as paredes não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão da barra tem que ser zero!
Temos fórmulas pra esses termos!
A expansão térmica aqui ocorre de maneira contínua. Veja que a variação de temperatura depende de (posição)! Então é preciso integrar para acharmos a expansão:
Para a compressão, temos a relação carga-deslocamento.
Passo 3
Substitua a expressão de em e integre de a .
Passo 4
Substitua tudo em e isole o :
Resposta
Força: