A barra tem área de seção transversal A , comprimento L , módulo de elasticidade E e coeficiente de expansão térmica α . A temperatura da barra muda uniformemente ao longo de seu comprimento de T A em A para T B em B de modo que, em qualquer ponto x ao longo da barra, T = T A + x ( T B - T A ) / L . Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas. Inicialmente, não há nenhuma força axial na barra.

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 85

A barra tem área de seção transversal , comprimento , módulo de elasticidade e coeficiente de expansão térmica . A temperatura da barra muda uniformemente ao longo de seu comprimento de em para em de modo que, em qualquer ponto ao longo da barra, . Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas. Inicialmente, não há nenhuma força axial na barra.

Passo 1

Uma barra entre paredes rígidas é aquecida. Essa questão não tem valores, vamos anotar tudo que sabemos.

Características da barra:

Módulo de elasticidade: .
Coeficiente de expansão térmica: .
Comprimento inicial: .
Área transversal: .

A temperatura inicial da barra era . A barra foi aquecida, e a temperatura na posição () ficou como

Podemos escrever o aumento de temperatura então:

Até aqui todas essas letras são pra serem consideradas conhecidas!

Mas o que está ocorrendo com a barra afinal? A diferença de temperatura irá induzir uma expansão térmica, e as paredes irão resistir à expansão com uma força .

Queremos achar uma expressão que defina essa força .

Passo 2

Quais são os efeitos atuando na barra?

O aumento de temperatura vai causar uma expansão da barra:
A reação das paredes vai comprimir a barra, reduzindo: .

Como as paredes não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão da barra tem que ser zero!

Temos fórmulas pra esses termos!

A expansão térmica aqui ocorre de maneira contínua. Veja que a variação de temperatura depende de (posição)! Então é preciso integrar para acharmos a expansão:

Para a compressão, temos a relação carga-deslocamento.

Passo 3

Substitua a expressão de em e integre de a .

Passo 4

Substitua tudo em e isole o :

Resposta

Força:

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