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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 50

50. Uma barra tem seção transversal circular com diâmetro de 25   m m e está sujeita a torque e a momento fletor. No ponto de tensão de flexão máxima as tensões principais são 140   M P a e - 70   M P a . Determine o torque e o momento fletor.

Passo 1

Neste exercício, como já conhecemos as tensões principais, vamos igualar elas com as suas respcertivas fórmulas:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Onde:

I   σ 1 = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 140   M P a

I I   σ 2 = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = - 70   M P a

Passo 2

Sabemos que σ x = σ x , σ y = 0 e τ x y = τ x y . Logo, nossas relações I   e I I de antes, ficarão assim:

σ x 2 + σ x 2 2 + τ x y 2 = 140   M P a   ( I )

σ x 2 - σ x 2 2 + τ x y 2 = - 70   M P a   ( I I )

Passo 3

Somando então, as equações I   e ( I I ) :

σ x 2 + σ x 2 2 + τ x y 2 + σ x 2 - σ x 2 2 + τ x y 2 = ( 140   M P a ) + ( - 70   M P a )

2 ⋅ σ x 2 = 70   M P a

σ x = 70   M P a

Como já encontramos σ x , bora então substituir esse valor em ( I ) :

70   M P a 2 + 70   M P a 2 2 + τ x y 2 = 140   M P a

70   M P a 2 2 + τ x y 2 = 140   M P a - 35   M P a

70   M P a 2 2 + τ x y 2 = ( 105   M P a ) 2

τ x y 2 = ( 105   M P a ) 2 - ( 35   M P a ) 2

τ x y = 9800   ( M P a ) 2  

τ x y ≅ 98,99   M P a

Passo 4

Agora, para achar o momento fletor, vamos usar a fórmula de tensão causada pelo momento, que é dada por:

σ x = M c I

70 × 10 6   P a = M ( 0,0125   m ) π 4 ( 0,0125   m ) 4

M = ( 70 × 10 6   P a ) π 4 ( 0,0125   m ) 4 ( 0,0125   m )

M ≅ 107,4   N ⋅ m

Passo 5

Finalmente, para encontrar o torque, vamos usar a fórmula de tensão de cisalhamento:

τ x y = T c J

98,99 × 10 6   P a = T × ( 0,0125   m ) π 2 ( 0,0125   m ) 4

T = ( 98,99 × 10 6   P a ) π 2 ( 0,0125   m ) 4 ( 0,0125   m )

T ≅ 303,7   N ⋅ m

Resposta

O torque no ponto de tensão de flexão máxima é de:

T ≅ 303,7   N ⋅ m

E o momento fletor é:

M ≅ 107,4   N ⋅ m

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