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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 48

48. A extremidade da viga em balanço está sujeita à carga mostrada. Determine as tensões principais na viga nos pontos A e B .

Passo 1

Primeiro, vamos montar o esquema de esforços cortantes na viga:

Para calcular o valor dos esforços cortantes e momento fletores, devemos fazer o somatória das forças e momentos em relação aos eixos:

↑ + ∑ F y = 0

V y - ( 15   k N × 4 5 ) = 0  

V y = ( 15   k N × 4 5 )

V y = 12   k N

→ + ∑ F z = 0

V z - ( 15   k N × 3 5 ) = 0  

V y = ( 15   k N × 3 5 )

V y = 9   k N

↷ + ∑ M y = 0

M y - 15   k N × 3 5 × 1,2   m

M y = 15   k N × 3 5 × 1,2   m

M y = 10,8   k N ⋅ m

↷ + ∑ M z = 0 M z - 15   k N × 4 5 × 1,2 m

M z = 15   k N × 4 5 × 1,2   m

M z = 14,4   k N ⋅ m

Passo 2

Como calculamos os resultados anteriores comuns aos dois pontos que pede o enunciado, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos calcular a tensão no ponto A , lembrando que a fórmula do momento polar de inércia de um retângulo é 1 12 ( b h 3 ) onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo:

σ A = M z y A I z - M y z A I y

σ A = - ( 14,4 × 10 3   N ⋅ m ) ( 0,075   m ) 1 12 ( 0,12   m ) ( 0,15   m ) 3 - 10,8 × 10 3   N ⋅ m 0,06   m 1 12 ( 0,12   m ) ( 0,15   m ) 3

σ A ≅ - 10,8   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

E depois, calculando a tensão máxima de cisalhamento no ponto A , obtemos que:

τ A = V y Q A I z t

τ A = ( 12 × 10 3   N ) ( 0,06 × 0,03 × 0,12   m 3 ) 1 12 0,12   m 0,15   m 3 × ( 0,15   m )

τ A ≅ 0,640   M P a

Passo 3

Calcularemos, então, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1 , 2 = - 10,8   M P a + 0   M P a 2 ± - 10,8   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0,640   M P a ) 2

σ 1 , 2 ≅ - 5,4   M P a ± 5,4378   M P a

Com isso, obtemos duas tensões:

σ 1 ≅ - 5,4   M P a + 5,4378   M P a

σ 1 ≅ 0,378   M P a   ≅ 37,8   k P a

σ 2 ≅ - 5,4   M P a - 5,4378   M P a

σ 2 ≅ - 10,8   M P a

Passo 4

Aqui, repetiremos todos os passos anteriores para o ponto B .

Primeiro, o cálculo da tensão no ponto B :

σ B = M z y B I z - M y z B I y

σ B = - 14,4 × 10 3   N ⋅ m 0,075   m 1 12 0,12   m 0,15   m 3 + 10,8 × 10 3   N ⋅ m 0,06   m 1 12 ( 0,12   m ) ( 0,15   m ) 3

σ B ≅ 42   M P a   ( T r a ç ã o )

E depois, o cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = - V z Q B I y t

τ B = - ( 9 × 10 3   N ) ( 0,04 × 0,04 × 0,5   m 3 ) 1 12 0,15   m 0,12   m 3 × ( 0,15   m )

τ A ≅ - 0,667   M P a

Passo 5

Em terceiro, calcularemos as tensões principais no ponto B :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1 , 2 = 42   M P a + 0   M P a 2 ± 42   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0,667   M P a ) 2

σ 1 , 2 ≅ 21 M P a + 21,0105   M P a

σ 1 ≅ 21 M P a + 21,0105   M P a

σ 1 ≅ 42   M P a

σ 2 ≅ 21 M P a - 21,0105   M P a

σ 2 ≅ - 0,0105   M P a ≅ - 10,6   k P a

Resposta

Tensões principais na viga no ponto A :

σ 1 ≅ 37,8   k P a

σ 2 ≅ - 10,8   M P a

Tensões principais na viga no ponto B:

σ 1 ≅ 42   M P a

σ 2 ≅ - 10,6   k P a

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