A barra uniforme esbelta de 8   k g é articulada em relação a um eixo horizontal através de O e liberada a partir do repouso na posição horizontal. Determine a distância b do centro de massa até O que resultará em uma aceleração angular inicial de 16   r a d / s 2 , e encontre a força R na barra em O imediatamente após a liberação.

Passo 1

Vamos começar com um esquema da situação:

O momento de inércia em relação ao ponto O pode ser calculado usando o teorema dos eixos paralelos:

I O = I C M + M b 2

I O = 1 12 M L 2 + M b 2

I O = 1 12 8 0,600 2 + 8 b 2

I O = 0,24 + 8 b 2

Passo 2

Agora vamos analisar a soma dos momentos em relação ao ponto O , sabendo que a acelereração angular observada é α = 16   r a d / s 2 .

∑ M O = I o α

m g b = 0,24 + 8 b 2 α

8 9,81 b = 0,24 16 + 8 16 b 2

128 b 2 - 78,48 b + 3,84 = 0

E podemos resolver essa equação do segundo grau para encontrar b :

b = 78,48 ± 78,48 2 - ( 4 ) ( 128 ) ( 3,84 ) ( 2 ) ( 128 ) = 78,48 ± 64,75 256

E as duas soluções são b = 0,5594   m ou b = 0,05363   m . Como a primeira solução é quase do tamanho da própria barra (o que não bate com a representação do desenho), ficamos apenas com a segunda:

b ≅ 54   m m

Passo 3

Falta encontrar a força R em O . Para isso vamos usar a segunda lei de Newton.

Já que a barra se move com aceleração angular α = 16   r a d / s em torno do ponto O , então (imediatamente após a liberaçao da barra) o centro de massa se move para baixo com a seguinte aceleração tangencial:

a t = α b

Então:

P - R = m α b

R = m ( g - α b )

R = 8 9,81 - 16 0,054

R = 71,6   N

Resposta

R = 71,6   N e b = 54   m m .

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