Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 138

Uma barra uniforme de 2 kg é suportada por um pino em O e poruma mola em A e está ligada a um amortecedor em B. Determine (a)a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações, (b) oângulo que a barra formará com a horizontal 1,5 s após a extremidadeB ter sido empurrada 25 mm para baixo e liberada.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine (a)a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações, (b) oângulo que a barra formará com a horizontal 1,5 s após a extremidadeB ter sido empurrada 25 mm para baixo e liberada.

Para Ângulos pequenos:

sin ⁡ θ ≈ θ ,                 cos ⁡ θ ≈ 1 .

δ y A = 6 12   f t θ = θ 2

δ y C = 6 12   f t θ = θ 2

δ y B = 18 12   f t θ = 3 θ 2

Passo 2

(a) faremos o somatório dos momentos :D

∑ M 0 = ( ∑ M 0 ) c f f :

↷ + - 6 12 f t F s + 6 12 f t 4 - 18 12 f t F D = I -   α 6 12 f t m α - 1

F s = k   ( δ y A + δ S T ) A = k θ 2 + ( δ S T ) A

F D = c   δ y ˙ B = c   3 2   θ ˙

I - = 1 12   m l 2 = 1 2 m 24 12 f t 2 = 1 3 m

Cinemática: α = θ ¨ ,                 α - 1 = 16 12 f t α = θ ¨ 2

Assim, da equação:

m 3 + m 4 θ ¨ + 3 2 2 c θ ¨ + k 2 θ 2 + ( δ S T ) A - 2 = 0

Passo 3

Em equilíbrio temos:

∑ M 0 = 0

↷ + k ( δ S T ) A   16 12 - 4 6 12 = 0 ,                   k 2 ( δ S T ) A = Z

Equação torna-se: 7 12 m θ ¨ + 9 4 θ ¨ + k 4 θ = 0

7 12 m = 7 12 4 32.2 = 0.07246

9 4   c = 9 4 0.15 = 0.3375

k 4 = 5 4 = 1.25

Passo 4

(b)Substituindo e λ t , na equação diferencial acima:

0.07246   λ 2 + 0.3375   λ + 1.25 = 0

λ = ( - 0.3375 ∓ 0.3375 2 - 4 0.07246 1.25 ) ( 2 ) ( 0.07246 )

λ = ( - 0.3375 ∓ ( - 0.2484 ) ) ( 2 ) ( 0.07246 )

λ = 2.329 ± 3.439   i

Uma vez que as raízes são complexas e conjugadas (amortecimento de luz), a solução para a equação diferencial é,

θ = θ 0 e - 2.329 t sin ⁡ ( 3.939 t + ∅ )

Condições iniciais δ y B 0 = 0.9   i n .

θ 0 = δ y B 18   i n . = 0.9 18

θ 0 = 0.05   r a d

θ ˙ 0 = 0

Da equação: θ 0 = 0.05 = θ 0 sin ⁡ ∅

θ ˙ 0 = 0 = - 2.329

θ 0 sin ⁡ ∅ + 3.439   θ 0 cos ⁡ ∅

tan ⁡ ∅ = 3.439 2.329

∅ = 0.9755   r a d

θ 0 = 0.05 sin ⁡ ( 0.9755 ) = c

Passo 5

Substituindo na equação, θ = 0.06039   e - 2.329 t sin ⁡ 3.439 t + 0.9752

No, t = 5   s , θ = 0.06039   e - 2.329 5 sin ⁡ [ ( 3.439 ) ( 5 ) + 0.9752 ]

= 0.06039 e - 11.645 sin ⁡ 18.1702 = ( 0.06039 ) ( 8.7627 × 10 - 6 ) ( - 0.6283 )

= - 0.332 × 10 - 6   r a d

Resposta

a) 0.06039   r a d

b) θ = - 19.05 × 10 - 6  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe o análogo elétrico do sistema mecânico mostrado. (Dica: desenhe os loops correspondentes aos corpos livres m e A.)
Expresse em termos de L, C e E a faixa de valores da resistência R para a qual as oscilações ocorrerão no circuito mostrado quando a chave S for fechada.
Um elemento de máquina de 500 kg é suportado por duas molas, cada uma de constante 50 kN/m. Uma força periódica de 150 N de amplitude é aplicada ao elemento com uma frequência de 2,8 Hz. Sabendo que o
Escreva as equações diferenciais definindo (a) os deslocamentos da massa me do Ponto A, (b) as cargas nos capacitores do análogo elétrico.
O cano da arma de caça tem massa de 750 g e é retornado para a posição de tiro após o recuo de um recuperador de constante c = 18 kN s/m. Determine (a) a constante k que deveria ser usada para o recup