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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 48

Uma biela é sustentada por um fio de faca no Ponto A; o período de suas pequenas oscilações é observado como 0,87 s. A haste é então invertida e suportada por um fio de faca no Ponto B e o período de pequenas oscilações é observado como 0,78 s. Sabendo que r a + r b = 10  in. Determine (a) a localização do centro de massa G, (b) o raio centróide de giro k.

Passo 1

Considere o pêndulo geral de raio centroidal de giro K

Equação do movimento + ) Σ M 0 = Σ M 0 e t l : - m g F - s i n ⁡ θ = ( m r - θ ¨ ) r - + m k - 2 θ ¨

θ ¨ + g f ' ¯ r - 2 + k - 2 s i n ⁡ θ = 0

Para pequenas oscilações s i n ⁡ θ ≈ θ , temos

θ ¨ + g r - r → 2 + k - 2 θ = 0

ω n 2 = g r - r - 2 + k - 2

τ = 2 π ω n = 2 π F 2 + k 2 ¯ g r -

Para uma haste suspensa em A

τ A = 2 π r a 2 + k ~ 2 g r a

g τ A 2 r a = 4 π 2 r a 2 + k - 2 (1)

Para haste suspensa em B τ B = 2 π r b 2 + k - 2 g r b

g τ B 2 r b = 4 π 2 r b 2 + k - 2 (2)

Passo 2

(a) valor de r a

Subtraindo Eq (2) em eq (1)

g τ A 2 r a - g τ B 2 z b = 4 π 2 r a 2 - r b 2 g τ A 2 r a - g τ B 2 r b = 4 π 2 r a + r b r a ' r b

Aplicando os dados numéricos r a + r b = 10 i n , = 0.83333 f t

( 32.2 ) ( 0.87 ) 2 r σ - ( 32.2 ) ( 0.78 ) 2 r h = 4 π 2 ( 0.83333 ) r a - r i

24.372 r a - 19.590 r b = 32.899 r a - r b

13.309 r b = 8.527 r a                       r b = 0.6407 r a

0.83333 = r a + 0.6407 r a                   r a = 0.5079 f t r a = 6.09 i n

r b = 0.83333 - 0.5079                       r b = 0.32543 f t r b = 3.91  in.

Passo 3

(b) raio centroidal de giro

Da eq (1)

4 π 2 k - 2 = g τ A 2 r a - 4 π 2 r a 2 = ( 32.2 ) ( 0.87 ) 2 ( 0.5079 ) - 4 π 2 ( 0.5079 ) 2 = 2.1947 f t 2

k - = 0.2398 f t                                 k - = 2.83 i n

Resposta

(a) r a = 6.09 i n

r b = 3.91  in.

(b) k - = 2.83 i n

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