Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 73
O bloco é abandonado da posição mostrada, sobre a extremidade de uma barra de aço quadrada, de de lado. Sabendo-se que , determinar na barra:
- a máxima deflexão em sua extremidade livre;
- o máximo momento fletor;
- a máxima tensão normal.
Passo 1
Como estão, lind@s? Bora resolver uma questão de carregamento produzido por impacto para diminuir as dúvidas sobre esse tópico?
A questão quer saber três informações:
- A máxima deflexão no ponto . Ela é a deformação provocada na barra as com o choque choque do bloco. Calculamos através da energia que a barra absorve no impacto. A energia é calculada pela equação abaixo que depende de .
- O máximo momento fletor é encontrado através do equilíbrio de momentos da viga.
- Para encontrar a maior tensão na viga, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo.
onde é a força que provoca na barra as mesmas tensões produzidas pelo choque. Além disso, a energia que a barra absorve é igual à energia potencial transferida do bloco para a barra no momento do choque.
Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para em função de , conseguimos achar .
As barrinhas que cerca o é o módulo. Ela significa que usaremos apenas o valor de sem seu sinal. Ou seja, se for negativo, desprezaremos o sinal de menos e levaremos em conta apenas o seu valor.
Os dados que temos para achar , e se encontram na figura abaixo.
e são as reações causadas pelas restrições presentes nos pontos e respectivamente. e são a altura e a largura do perfil da viga respectivamente.
Após entender tudo isso, podemos calcular no próximo passo.
Passo 2
A primeira etapa para encontrar é igualar as duas equações de .
Com essa equação, podemos ver bem que precisamos achar uma fórmula de em função de para conseguir calcular .
Só podemos achar essa equação de , calculando a energia de deformação que a viga é capaz de absorver através da integral abaixo.
onde é o momento fletor ao longo da viga.
Ou seja, para achar essa equação de em função de , temos que saber como varia ao longo da barra. A primeira etapa para fazer isso é encontrar a reação fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto .
Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Agora estamos aptos a achar ! Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força e outro quando a parte direita inclui a força . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos e , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.
Agora vamos calcular o segundo valor de .
Com esses valores de , podemos achar a partir da integral para encontar em função de !
Passo 3
tem dois valores. Um quando vale entre e e outro, quando vale entre e .
Por isso, para substituir na integral que calcula , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de a para o primeiro valor de e outra que vai de a para o segundo valor de .
Substituindo os valores de nas integrais corretas, achamos:
Colocando as constantes para fora da integral, achamos:
Substituindo essa equação de na primeira equação de do passo 1, achamos:
Passo 4
Substituindo essa fórmula de na primeira equação do passo 2, achamos:
A equação acima, mostra que para achar , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia do perfil através de para perfis quadrangulares abaixo.
Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter de pra multiplicando por e converter de pra multiplicando por .
Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:
Sabendo disso, somos capazes de calcular por Bhaskara.
Ebaaaa! Lutamos, mas conseguimos resolver a letra (a) da questão! Vamos partir pra letra (b) agora!
Passo 5
Para achar a tensão , temos que achar primeiro. Para achar precisamos encontar a força . Fazemos isso, substituindo o valor de na fórmula de deduzida.
O momento fletor máximo é encontrado no ponto , quando . Logo, substituindo por na equação que deduzimos no passo 2 para o momento fletor .
Isso aííí! Encontramos o momento fletore máximo e resolvemos a letra (b) da questão!
Essa é a primeira etapa para achar . Vamos deixar a última etapa para o próximo passo!
Passo 6
Antes de substituir na equação de , temos que achar a distância entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. é igual à metade da altura do perfil da viga.
Substituindo os dados na equação de , achamos:
Pronto! A letra (c) da questão também está feita! Acabamos tudo! Uhuul!