Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 73

O bloco é abandonado da posição mostrada, sobre a extremidade de uma barra de aço quadrada, de de lado. Sabendo-se que , determinar na barra:

a máxima deflexão em sua extremidade livre;

o máximo momento fletor;

a máxima tensão normal.

Passo 1

Como estão, lind@s? Bora resolver uma questão de carregamento produzido por impacto para diminuir as dúvidas sobre esse tópico?

A questão quer saber três informações:

A máxima deflexão no ponto . Ela é a deformação provocada na barra as com o choque choque do bloco. Calculamos através da energia que a barra absorve no impacto. A energia é calculada pela equação abaixo que depende de .

onde é a força que provoca na barra as mesmas tensões produzidas pelo choque. Além disso, a energia que a barra absorve é igual à energia potencial transferida do bloco para a barra no momento do choque.

Igualando essas duas equações e encontrando uma equação para em função de , conseguimos achar .

O máximo momento fletor é encontrado através do equilíbrio de momentos da viga.
Para encontrar a maior tensão na viga, aplicamos a equação da tensão máxima de barras em flexão presente abaixo.

As barrinhas que cerca o é o módulo. Ela significa que usaremos apenas o valor de sem seu sinal. Ou seja, se for negativo, desprezaremos o sinal de menos e levaremos em conta apenas o seu valor.

Os dados que temos para achar , e se encontram na figura abaixo.

e são as reações causadas pelas restrições presentes nos pontos e respectivamente. e são a altura e a largura do perfil da viga respectivamente.

Após entender tudo isso, podemos calcular no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa para encontrar é igualar as duas equações de .

Com essa equação, podemos ver bem que precisamos achar uma fórmula de em função de para conseguir calcular .

Só podemos achar essa equação de , calculando a energia de deformação que a viga é capaz de absorver através da integral abaixo.

onde é o momento fletor ao longo da viga.

Ou seja, para achar essa equação de em função de , temos que saber como varia ao longo da barra. A primeira etapa para fazer isso é encontrar a reação fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto .

Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .

Agora estamos aptos a achar ! Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força e outro quando a parte direita inclui a força . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos e , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

Agora vamos calcular o segundo valor de .

Com esses valores de , podemos achar a partir da integral para encontar em função de !

Passo 3

tem dois valores. Um quando vale entre e e outro, quando vale entre e .

Por isso, para substituir na integral que calcula , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de a para o primeiro valor de e outra que vai de a para o segundo valor de .

Substituindo os valores de nas integrais corretas, achamos:

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

Substituindo essa equação de na primeira equação de do passo 1, achamos:

Passo 4

Substituindo essa fórmula de na primeira equação do passo 2, achamos:

A equação acima, mostra que para achar , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia do perfil através de para perfis quadrangulares abaixo.

Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter de pra multiplicando por e converter de pra multiplicando por .

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

Sabendo disso, somos capazes de calcular por Bhaskara.

Ebaaaa! Lutamos, mas conseguimos resolver a letra (a) da questão! Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 5

Para achar a tensão , temos que achar primeiro. Para achar precisamos encontar a força . Fazemos isso, substituindo o valor de na fórmula de deduzida.

O momento fletor máximo é encontrado no ponto , quando . Logo, substituindo por na equação que deduzimos no passo 2 para o momento fletor .

Isso aííí! Encontramos o momento fletore máximo e resolvemos a letra (b) da questão!

Essa é a primeira etapa para achar . Vamos deixar a última etapa para o próximo passo!

Passo 6

Antes de substituir na equação de , temos que achar a distância entre o ponto de maior tensão no perfil da viga e o centro da viga. é igual à metade da altura do perfil da viga.